指數分布族

指數分布族是數理統計中的一類參數分布族，很多常見的概率分布都是指數分布族。

概念

假設有樣本空間$\mathcal {X}$上的參數分布族$\mathcal{F} = \{ f(x, \theta): \theta \in \varTheta \}$，概率密度如果可以表示為 $$f(x, \theta) = C(\theta) \exp \left( \sum_{k=1}^n Q_k(\theta) T_k(x) \right) h(x).$$ 其中$C(\theta), Q_k(\theta)$僅是$\theta$的函數，$T_k(x), h(x)$僅是$x$的函數且$C(x), h(x) \geqslant 0.$

上述定義不限於一元情形，對參數和樣本空間是多維的情形也可以定義。

例子

1. 參數為$\mu, \sigma^2$的正態分布族是指數分布族。
2. 參數為$n \in \N^+, \theta \in (0, 1)$的二項分布族為指數分布族。
3. 參數為$\gamma, \lambda$的Γ 分布族是指數分布族。