指数函数

指数函数是基本初等函数之一，同时还是光滑函数以及解析函数。这里主要介绍实指数函数$\exp: \R \to \R$，关于自变量和函数值取复数的指数函数参见复指数函数。

概念

给定一个实数$a$（一般还要求是正的），定义指数函数$a^x = \text{e}^{x \ln a}$，其中$x$是实数自变量。

当$a = \text{e}$时称为标准的指数函数，有时也写为$\exp x.$

这里指数$a^b$的定义参见指数。

性质

以下假设$a > 0.$

1. 定义域：$\R$，值域$\R^+$，是非负函数。
2. 单调性：$a>1$时严格单调递增，$0 < a < 1$时严格单调递减，$a = 1$时为常数。
3. 没有周期，没有奇偶性。
4. 函数极限：$\lim_{x \to x_0} a^x = a^{x_0}$，是连续函数。
5. 奇偶分解：$\text{e}^x = \dfrac{\text{e}^x + \text{e}^{-x}}{2} + \dfrac{\text{e}^x - \text{e}^{-x}}{2} = \cosh x + \sinh x.$
6. 是光滑函数，各阶导数：$\dfrac{\mathrm{d}^n}{\mathrm{d}x^n} a^x = a^x \ln^n a, n \in \N.$特别地，$\dfrac{\mathrm{d}^n}{\mathrm{d}x^n} \text{e}^x = \text{e}^x.$
7. 不定积分：$\int a^x \mathrm{d}x = \dfrac{1}{\ln a} a^x, a \ne 1.$
8. 函数方程：$f(x+y) = f(x) f(y)$的连续解函数$f(x) = a^x.$
9. 是解析函数，且泰勒级数为$\text{e}^x = \sum_{k=0}^\infty \dfrac{x^k}{k!}, 0! = 1.$
10. 函数凸性：凸函数，$(a^x)'' > 0.$
11. 渐近线：$y=0$，单侧无穷渐近线。
12. 极限行为：$\text{e}^x - 1 \sim x, \text{e}^x - 1 - x \sim \dfrac{x^2}{2},...,x \to 0$
13. 常微分方程的解：$y' - ky = 0, y = C\text{e}^{kx}.$

相关函数

1. 自变量取复数的情形：复指数函数。
2. 多元函数的径向函数：$\exp |x|$，磨光子$\eta = \exp \dfrac{1}{1-|x|^2}.$
3. Gauss 函数：$\text{e}^{-x^2}.$
4. 矩阵的指数函数：$\exp \boldsymbol{A}.$