拓扑锥

在点集拓扑理论中，拓扑锥是一种常见的拓扑空间，它是几何中锥面的推广。

定义

假设有拓扑空间$X$，$I = [0, 1]$，我们称商空间 $$CX := (X \times I)/(X \times \{ 1 \})$$ 为$X$的拓扑锥。当$X \subset \R^n, a \in \R^{n+1}$，定义 $$aX := \{ ta + (1-t)x: t \in I, x \in X \}$$ 为$X$上以$a$为顶点的几何锥。

性质

1. 若$X$是紧集，那么$aX$同胚于$CX.$
2. 若$X$是 Hausdorff 空间，那么$CX$也是。
3. $S^1$上的拓扑锥是第二可数的 Hausdorff 空间，但不局部同胚于欧氏空间，因此不是拓扑流形。

参考资料

1. 尤承业, 《基础拓扑学讲义》, 北京大学出版社, 北京, 1997-01, ISBN 978-7-3010-3103-2.