拓扑线性空间

拓扑线性空间（topological linear space）或称线性拓扑空间、拓扑向量空间，是一类重要的抽象空间，它是一般的赋范线性空间以及任意类型的具有局部凸的拓扑结构的线性空间的抽象化，对研究泛函分析以及偏微分方程有着重要的作用（尤其是有很多巨头局部凸的拓扑结构的线性空间未必可以赋范化）。

注意，我们引入这样的拓扑线性空间之后，一个赋范线性空间的底空间连带上范数拓扑的弱拓扑也会成为一个拓扑线性空间，他一般而言可以不是第一可数的，这给我们提供了很多拓扑线性空间中的反例。

定义

如果一个非空集合$X$满足：

1. $X$是数域$\mathbb{K}$的线性空间。
2. $X$是拓扑空间，记其上的拓扑为$\tau$。
3. $X$上的加法运算和数乘运算关于拓扑连续，即
   1. $+:X\times X\to X,(x,y)\mapsto x+y$连续，这等价于对任意的$x,y \in X$以及$x + y$的邻域$O$都分别存在$x, y$的邻域$U, V$使得$U+V\subset O.$
   2. $\cdot :\mathbb {K} \times X\to X,(\lambda ,x)\mapsto \lambda x$连续，其中$\mathbb{K}$上装备的是通常拓扑（$\mathbb{C}$的子拓扑），这等价于对任意的$\lambda \in \mathbb {K} ,x\in X$以及任意的$\lambda x$的邻域$O$而言，存在$\lambda$的邻域$U$以及$x$的邻域$V$使得$UV\subset O.$

我们就称$(X, \tau)$是拓扑线性空间，$\tau$通常被称为线性拓扑，在不引起混淆的情况下也称$X$是拓扑线性空间。

由于$X$上具有良好的线性结构，对任意$x \in X$以及原点的邻域$U$，$x+U$就是$x$的邻域，反过来，对任意$x \in X$点的邻域$U$，$U-x$就是原点的邻域，因此研究$X$上的局部性质就可以归结于$X$中原点附近的局部性质。

假设$(X, \tau)$是拓扑线性空间，那么

1. 对任意的$x_0 \in X$，平移映射$x\mapsto x+x_{0}$是$X$上的同胚。
2. 对任意的$\lambda _{0}\in \mathbb {K}$，伸缩映射$x\mapsto \lambda _{0}x$在$X$上连续，且当$k_{0}\neq 0$的时候这个映射是同胚。
3. 对任意原点的一个邻域$O$，总存在原点的一个邻域$U$上的$U+U\subset O.$
4. 对任意原点的一个邻域$O$，总存在原点的一个均衡邻域$U$满足$U\subset O.$所谓均衡集，即是指对任意$\lambda \in \mathbb {K} ,|\lambda |\leqslant 1$我们都要$\lambda U\subset U$。
5. 映射$\varphi :(\lambda _{1},\lambda _{2},\cdots ,\lambda _{n},x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n})\mapsto \sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}x_{i}$在$(\mathbb {K} ^{n},X^{n})$上连续。

关于这个定理/命题的证明，单击这里以显示/折叠

1. 由定义得到。
2. 由定义得到。
3. 由加法在$(0,0)\in X\times X$的连续性得到存在原点的邻域$V, W$使得$V+W\subset O$，取$U=V\cap W$即可。
4. 由数乘在$(0,0)\in \mathbb {K} \times X$处的连续性得到存在$\varepsilon > 0$以及原点$0 \in X$的邻域$V$使得$K(\varepsilon )V\subset O$，令$U=K(\varepsilon ){\overline {V}}=\bigcup _{0<|\lambda |<\varepsilon }(\lambda V)$就符合题意，其中$K(\varepsilon )=\{\lambda \in \mathbb {K} :|\lambda |<1\}.$
5. 记$y=\sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}x_{i}$，对任意$y$的邻域$O$而言，$O-y$是原点的邻域，因此根据第三条，重复应用，存在原点的邻域$V$使得$V+V+\cdots +V\subset O-y$（其中有$n$个$V$相加），对每个$i = 1,2,\cdots,n$，用数乘连续性，考察$\lambda _{i}x_{i}$的邻域$\lambda _{i}x_{i}+V$得到存在$\lambda_i$的邻域$W_i$以及$x_i$的邻域$V_i$使得$W_{i}V_{i}\subset \lambda _{i}x_{i}+V$，于是当$\mu _{i}\in W_{i},y_{i}\in V_{i}$的时候$\sum _{i=1}^{n}\mu _{i}y_{i}\subset y+(O-y)=O$，即$\varphi$连续。

有的资料在定义拓扑线性空间的时候会要求拓扑具有某些分离性质，例如 Hausdorff 性质或者$T_1$公理，在本社区中，我们如未特别说明，都是没有加这些分离性质的空间。

给定一个拓扑线性空间$X$，那么下面几款等价：

1. $X$是 Hausdorff 空间
2. $X$是$T_1$空间。

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由$T_1$空间的性质，对$x-y\in X,x-y\neq 0$, 存在原点的开邻域$U$使得$x\notin U$。由#引理1.2的第3条和4条得存在均衡邻域$V$使$V+V\subset U$，进而$V-V\subset U$，我们要证明$(x+V)\cap (y+V)=\varnothing$。用反证法，设$(x+V)\cap (y+V)\neq \varnothing$，取$z\in (x+V)\cap (y+V)$，那么存在$u, v \in V$使$x+u=z$以及$y+v=z$，于是$$x-y=v-u\in V-V\subset U.$$但是$x-y\notin U$，于是导出了矛盾。

有界性

$X$上的很多性质，例如线性子空间、子集、凸集、开集、收敛性、极限以及可数公理等都和$X$作为线性空间以及拓扑空间时的概念一致，但是有界性作为一个度量空间才有的概念在这上面没有合适的定义，我们可以给有界性如下推广定义：我们说一个集合$B$有界是指对任意原点的开邻域$U$，都存在$\lambda > 0$使得$\lambda B$完全落在$U$中，这等价于：

拓扑线性空间$X$中的集合$B$有界当且仅当对任意$A$中的点列$\{ x_n \}$以及任意收敛到零的数列$\{\lambda _{n}\}$都有$\{\lambda _{n}x_{n}\}$收敛到零。

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1. 假设$B$有界，那么对任意原点的开邻域$U$，都存在$\lambda > 0$使得$\lambda B\subset U$，于是存在$N \in \N$，使得当$n > N$的时候就有$\lambda _{n}<\varepsilon$，这样就有$\lambda _{n}x_{n}\in U$。
2. 证明否命题：如果$B$不是有界集，那么存在$0 \in X$的一个开邻域$U$使得对任意的$\lambda > 0$我们都有$b_{\lambda }\in B$使得$\lambda b_{\lambda }\notin U$，取$\lambda =\lambda _{n}$，于是$x_{n}=b_{\lambda _{n}}$，于是$\{x_{n}\}\subset B$但是它不趋近于零。

假设$A, B$是$X$中的非空子集，如果存在$\varepsilon > 0$使得$K(\varepsilon )B\subset A$，我们就称$A$吸收$B$，其中$K(\varepsilon )=\{\lambda \in \mathbb {K} :|\lambda |<1\}.$借助吸收的概念，我们可以将有界集的定义叙述为：$B$是有界集当且仅当原点的任何邻域都吸收$B$。

进一步，我们称非空集合$B\subset X$是完全有界的，是指对原点的任意邻域$U$存在有限集$A \subset X$使得$B\subset A+O$，这个概念和度量空间中的完全有界集的定义推广。

假设$B$是拓扑线性空间$X$中的非空集合，

1. 如果$B$是紧集，那么$B$是完全有界集。
2. 如果$B$是完全有界集，那么$B$是有界集。

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1. 任取原点的邻域$O$，由于$B$的任意开覆盖$\{x+O:x\in B\}$有有限子覆盖$\{x_{i}+O:x_{i}\in B,i=1,2,\cdots ,n\}$，那么存在$A=\{x_{i}\}_{i=1}^{n}$使得$B\subset A+O.$
2. 任取原点的邻域$O$，存在原点的均衡邻域$V$使得$V+V\subset O$，由于$B$完全有界，于是存在有限集$A$（自然存在$\varepsilon \in (0, 1)$使得$\varepsilon A\subset V$）使得$B\subset A+V$，于是$\varepsilon B\subset \varepsilon A+\varepsilon V\subset \varepsilon (V+V)\subset V+V\subset O.$

我们知道，在无穷维赋范线性空间中，有界闭和紧不等价，但是存在着无穷维的拓扑线性空间，其上的有界闭等价于紧，例如考察无穷维 Banach 空间$X$上的弱拓扑形成的拓扑线性空间$(X,\sigma (X,X')).$此外，这个例子也说明了存在着有界集和完全有界集等价的拓扑线性空间。注意这个空间中集合的（范数）有界性等价于弱有界性（一致有界原理）。此外，这个例子也说明了一个线性空间上即使有不等价的线性拓扑，它们也可能具有相同的有界集。

局部基

我们知道在线性空间中原点内的情况可以反映任意一点的情况，因此我们可以这样定义局部基的概念：我们称一个拓扑线性空间的原点中的一个邻域基为这个空间中的局部基。

假设有拓扑线性空间$X$，$\mathcal{S}$是$X$中的一个非空集族，那么$\mathcal{S}$是$X$的一个局部基当且仅当

1. 对任意的$U,V\in {\mathcal {S}}$，存在$W\in {\mathcal {S}}$使得$W\subset U\cap V.$
2. 对任意的$U\in {\mathcal {S}}$都存在$V\in {\mathcal {S}}$使得$V+V\subset U.$
3. 对任意的$U\in {\mathcal {S}}$都存在$V\in {\mathcal {S}}$使得${\overline {K(1)}}V\subset U.$
4. 当$U\in {\mathcal {S}}$且$x \in U$的时候成立$V\in {\mathcal {S}}$且$x+V\subset U.$
5. 任意的$U\in {\mathcal {S}}$都吸收任意的单点集。

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1. 先假设$\mathcal{S}$是局部基，第一条根据淋浴机的定义得到第二条根据#引理1.2的第三条得到，第三条根据定义中关于数乘的连续性得到，第四条根据邻域基的定义中的传递性得到，下面我们用反证法证明第五条，假设存在一个点$x_0 \in X$使得对任意的$\lambda > 0$都成立$\lambda x_{0}\notin U$，于是取$\lambda =1/n,n\in \mathbb {N} ^{+}$我们就有$\{1/nx_{0}\}_{n}$收敛到零，于是由于$U$是开集，得到极限点不在$U$中，这就和原点是$U$的内点矛盾。
2. 我们只叙述构造过程：定义${\mathcal {S}}(y)=\{y+O:O\in {\mathcal {S}}\}$，那么$\bigcup _{y\in X}{\mathcal {S}}(y)$生成的拓扑记作$\tau$，那么这个拓扑就是$X$上的线性拓扑。证明参见[Xia09]夏道行, 《泛函分析第二教程》, 高等教育出版社, 北京, 2009-01, ISBN 978-7-0402-4750-3.。

完备性

假设$X$是拓扑线性空间，$\{x_{\alpha }\}_{\alpha \in A}$是$X$中的一个网，如果对原点的任意邻域$O$，都存在$\alpha _{0},\beta _{0}$使得当$\alpha \geq \alpha _{0},\beta \geq \beta _{0}$的时候成立$x_{\alpha }-x_{\beta }\in O$，我们就称$\{x_{\alpha }\}$是 Cauchy 网，或基本网，如果指标集$A$是全序可列集，我们就称$\{x_{\alpha }\}$是基本列或 Cauchy 列。

对于$X$中的非空集合$A$，如果

1. 如果$A$中的任一 Cauchy 网都收敛到$A$中的元素，我们就称$A$是完备的；
2. 如果$A$中的任一 Cauchy 列都收敛到$A$中的元素，我们就称$A$是序列完备的；
3. 如果$A$中的任一有界 Cauchy 网都收敛到$A$中的元素，我们就称$A$是有界完备的。

由上述定义我们知道完备必有界完备，有界完备必序列完备（因为 Cauchy 列是有界列），在第一可数空间中这三个概念等价，但是一般的拓扑线性空间中未必。相关讨论参见完备空间。

共轭空间

假设$X, Y$是拓扑线性空间，我们记$X \to Y$的连续线性算子全体为$L(X, Y)$，如果$Y=\mathbb {K}$，我们也称$L(X, Y)$中的元素是连续线性泛函，其全体也记作$L^{\#}$，这也被称为是原空间的自然对偶。

更多性质及详细讨论参见拓扑对偶、弱拓扑。

可赋范性

Kolmogorov 定理表明了：

假设$X$是 Hausdorff 的拓扑线性空间，那么$X$可赋范化当且仅当存在原点$0 \in X$的一个凸的有界开邻域。

范畴

我们可以定义拓扑线性空间范畴${\mathsf {TVS}}$：

1. 对象是拓扑线性空间。
2. 态射是拓扑线性空间之间的连续线性映射。

这样，赋范线性空间范畴${\mathsf {NVS}}$是拓扑线性空间范畴的子范畴，Banach 空间范畴${\mathsf {Ban}}$是赋范线性空间范畴的子范畴，Hilbert 空间范畴${\mathsf {Hil}}$是 Banach 空间范畴的子范畴，有限维空间范畴${\mathsf {Euc}}$是 Hilbert 空间范畴的子范畴。

参考资料

1. L.A. Lusternik, V.J. Sobolev, Elements of Functional Analysis(3rd Ed.), International monographs on advanced mathematics & physics, John Wiley & Sons Inc, 1975, ISBN 978-0-4705-5650-4.
2. 夏道行, 《泛函分析第二教程》, 高等教育出版社, 北京, 2009-01, ISBN 978-7-0402-4750-3.