拓撲學中,拓撲空間(topology space)是一種在非空集合中引入集合開集和閉集等結構的空間。
拓撲[]
集合
上的一個拓撲
(topology)是由
的一些子集構成的子集族,即
,其中
是指標集,這個子集族滿足
中任意多個集合的併集依然在
中;
中有限個(或任意兩個)集合的交集依然在
中;
- 全集
和空集
在
中。
定義中我們儘量不使用集合的包含關係的原因是,子集族可能不是一個集合。拓撲
中的元素稱為開集,而閉集則被定義為開集的補集。集合
連同拓撲
組成一個拓撲空間
,在不引起混淆的情況下也記作
。
上述定義拓撲的開集公理也可換為閉集公理等其它公理,詳見拓撲。
展開例子摺疊例子
- 對於一個非空集合
來說,
始終是一個拓撲,這樣的拓撲稱為平凡拓撲(trivial topology),由此的空間稱為平凡拓撲空間。 - 度量空間
中的度量可以誘導出一個拓撲,其中的開集就定義為度量空間中的開集,這樣的拓撲稱為度量拓撲(metric topology)。 - Euclid 空間上通常的拓撲由2-範數定義出的開集給出,它是度量拓撲。
- 離散拓撲(discrete topology):集合
的所有子集組成的集合(冪集),開集定義為每一個子集。它是在集合包含意義下該點集的最大的拓撲。 - 余有限拓撲(finite complement topology):無窮點集
上定義一個拓撲
,其中的開集為空集或補集為有限集的子集合。 - 余可數拓撲(countable complement topology):無窮點集
上定義一個拓撲
,其中的開集為空集或補集為可數集的子集合。
鄰域[]
假設
,那麼點
的一個鄰域(neighborhood)是指包含
的一個開集
,有的資料中不要求
是開集,未作區分我們常稱鄰域為開集的情形為開鄰域。有的資料上定義
的鄰域
的方式是:
包含包含
的一個開集
即可,即:
,不要求
是否是開集,而我們定義的鄰域始終是開集。
一個點集
的鄰域定義為包含
的開集。
閉包、內部與邊界[]
給定拓撲空間
的一個子集
,我們定義閉包和內部:
的閉包
(closure):
中所有包含
的閉集的交集。
的內部
(interior):
中所有含於
的開集的併集。
這兩個是對偶概念,其他衍生出的概念有
的外部
(exterior):
的邊界
(boundary):
它們的基本性質參見對應頁面。
聚點與極限點[]
設
是一個拓撲空間,
,
稱為
的聚點(accumulation point)定義為,
的任何鄰域都包含
的至少一個點,上述定義可以把鄰域改為開鄰域。
的全體聚點的集合稱為
的導集,記作
稱為
的極限點(limit point)定義為,
的任何鄰域都包含
的至少一個點。有的資料中對聚點和極限點的概念不加區分。
拓撲基[]
設
是一個拓撲空間,如果存在一組開集
滿足:
的任意非空開集可以寫成
中集合的併集,那麼我們就稱
是
的一組拓撲基(basis)。
如果拓撲空間
具有一個可數的拓撲基,我們就稱其為第二可數空間。
可分性[]
參見:拓撲可分公理。
如果拓撲空間
具有可數稠密子集,我們就稱其為可分空間。以下的空間均是可分的,且一個比一個強:
空間:對於
中任意的兩點,存在其中一點的開鄰域不包含另外一點。
空間:對於
中任意的兩點,存在每一點的開鄰域不包含另外一點。
空間:對於
中任意的兩點,存在各自的開鄰域使得這兩個鄰域不相交。也被稱為豪斯多夫空間。
拓撲空間的映射
在點
稱為是連續的(continuous)是指,對
在
中的任何鄰域
,
是
的鄰域,形象來說就是——開集的原象是開集。
如果
在
的每一點都連續,則稱
是連續的。
稱為是同胚映射或簡稱同胚(homeomorphism),如果
是雙射且
是連續的。拓撲空間在同胚意義下的不變的量或性質,稱為拓撲不變量或拓撲性質,這是拓撲學研究的重點。
參考資料
- John M. Lee, Introduction to Topological Manifolds(2nd Ed.), Springer, New York, 2010-12, ISBN
978-1-4419-7939-1
. - 熊金城, 《點集拓撲講義(第五版)》, 高等教育出版社, 北京, 2020-06, ISBN
978-7-0405-3617-1
. - 尤承業, 《基礎拓撲學講義》, 北京大學出版社, 北京, 1997-01, ISBN
978-7-3010-3103-2
.