拓撲空間

拓撲學中，拓撲空間（topology space）是一種在非空集合中引入集合開集和閉集等結構的空間。

拓撲

集合$X$上的一個拓撲$\mathcal{T}$（topology）是由$X$的一些子集構成的子集族，即$\mathcal{T} = \{ A_\alpha \subset X | \alpha \in I \}$，其中$I$是指標集，這個子集族滿足

1. $\mathcal{T}$中任意多個集合的併集依然在$\mathcal{T}$中；
2. $\mathcal{T}$中有限個（或任意兩個）集合的交集依然在$\mathcal{T}$中；
3. 全集$X$和空集$\varnothing$在$\mathcal{T}$中。

定義中我們儘量不使用集合的包含關係的原因是，子集族可能不是一個集合。拓撲$\mathcal{T}$中的元素稱為開集，而閉集則被定義為開集的補集。集合$X$連同拓撲$\mathcal{T}$組成一個拓撲空間$(X,\mathcal{T})$，在不引起混淆的情況下也記作$X$。 上述定義拓撲的開集公理也可換為閉集公理等其它公理，詳見拓撲。

展開例子摺疊例子

1. 對於一個非空集合$X$來說，$\mathcal{T} = \{ X, \varnothing \}$始終是一個拓撲，這樣的拓撲稱為平凡拓撲（trivial topology），由此的空間稱為平凡拓撲空間。
2. 度量空間$(X,\rho)$中的度量可以誘導出一個拓撲，其中的開集就定義為度量空間中的開集，這樣的拓撲稱為度量拓撲（metric topology）。
3. Euclid 空間上通常的拓撲由2-範數定義出的開集給出，它是度量拓撲。
4. 離散拓撲（discrete topology）：集合$X$的所有子集組成的集合（冪集），開集定義為每一個子集。它是在集合包含意義下該點集的最大的拓撲。
5. 余有限拓撲（finite complement topology）：無窮點集$X$上定義一個拓撲$\mathcal{T}$，其中的開集為空集或補集為有限集的子集合。
6. 余可數拓撲（countable complement topology）：無窮點集$X$上定義一個拓撲$\mathcal{T}$，其中的開集為空集或補集為可數集的子集合。

鄰域

假設$x \in X$，那麼點$x$的一個鄰域（neighborhood）是指包含$x$的一個開集$U$，有的資料中不要求$U$是開集，未作區分我們常稱鄰域為開集的情形為開鄰域。有的資料上定義$x \in X$的鄰域$U$的方式是：$U$包含包含$x$的一個開集$V$即可，即：$x \in V \subset U$，不要求$U$是否是開集，而我們定義的鄰域始終是開集。

一個點集$E \subset X$的鄰域定義為包含$E$的開集。

閉包、內部與邊界

給定拓撲空間$X$的一個子集$A$，我們定義閉包和內部：

1. $A$的閉包$\overline{A}$（closure）：$X$中所有包含$A$的閉集的交集。
2. $A$的內部$\text{Int}(A)$（interior）：$X$中所有含於$A$的開集的併集。

這兩個是對偶概念，其他衍生出的概念有

1. $A$的外部$\text{Ext}(A)$（exterior）：$X - \overline{A}.$
2. $A$的邊界$\partial A$（boundary）：$X - \text{Int}(A) - \text{Ext}(A).$

它們的基本性質參見對應頁面。

聚點與極限點

設$X$是一個拓撲空間，$A \subset X$，$p \in A$稱為$A$的聚點（accumulation point）定義為，$p$的任何鄰域都包含$A - \{ p \}$的至少一個點，上述定義可以把鄰域改為開鄰域。$A$的全體聚點的集合稱為$A$的導集，記作$A'.$

$p \in A$稱為$A$的極限點（limit point）定義為，$p$的任何鄰域都包含$A$的至少一個點。有的資料中對聚點和極限點的概念不加區分。

拓撲基

設$X$是一個拓撲空間，如果存在一組開集$\mathcal{B}$滿足：$X$的任意非空開集可以寫成$\mathcal{B}$中集合的併集，那麼我們就稱$\mathcal{B}$是$X$的一組拓撲基（basis）。

如果拓撲空間$X$具有一個可數的拓撲基，我們就稱其為第二可數空間。

可分性

參見：拓撲可分公理。

如果拓撲空間$X$具有可數稠密子集，我們就稱其為可分空間。以下的空間均是可分的，且一個比一個強：

1. $T_0$空間：對於$X$中任意的兩點，存在其中一點的開鄰域不包含另外一點。
2. $T_1$空間：對於$X$中任意的兩點，存在每一點的開鄰域不包含另外一點。
3. $T_2$空間：對於$X$中任意的兩點，存在各自的開鄰域使得這兩個鄰域不相交。也被稱為豪斯多夫空間。

連續映射

拓撲空間的映射$f: X \to Y$在點$x \in X$稱為是連續的（continuous）是指，對$f(x)$在$Y$中的任何鄰域$N$，$f^{-1} (N)$是$x$的鄰域，形象來說就是——開集的原象是開集。

如果$f$在$X$的每一點都連續，則稱$f$是連續的。

$f: X \to Y$稱為是同胚映射或簡稱同胚（homeomorphism），如果$f$是雙射且$f^{-1}$是連續的。拓撲空間在同胚意義下的不變的量或性質，稱為拓撲不變量或拓撲性質，這是拓撲學研究的重點。

參考資料

1. John M. Lee, Introduction to Topological Manifolds(2nd Ed.), Springer, New York, 2010-12, ISBN 978-1-4419-7939-1.
2. 熊金城, 《點集拓撲講義（第五版）》, 高等教育出版社, 北京, 2020-06, ISBN 978-7-0405-3617-1.
3. 尤承業, 《基礎拓撲學講義》, 北京大學出版社, 北京, 1997-01, ISBN 978-7-3010-3103-2.