拓扑学中,拓扑空间(topology space)是一种在非空集合中引入集合开集和闭集等结构的空间。
拓扑[]
集合
上的一个拓扑
(topology)是由
的一些子集构成的子集族,即
,其中
是指标集,这个子集族满足
中任意多个集合的并集依然在
中;
中有限个(或任意两个)集合的交集依然在
中;
- 全集
和空集
在
中。
定义中我们尽量不使用集合的包含关系的原因是,子集族可能不是一个集合。拓扑
中的元素称为开集,而闭集则被定义为开集的补集。集合
连同拓扑
组成一个拓扑空间
,在不引起混淆的情况下也记作
。
上述定义拓扑的开集公理也可换为闭集公理等其它公理,详见拓扑。
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- 对于一个非空集合
来说,
始终是一个拓扑,这样的拓扑称为平凡拓扑(trivial topology),由此的空间称为平凡拓扑空间。 - 度量空间
中的度量可以诱导出一个拓扑,其中的开集就定义为度量空间中的开集,这样的拓扑称为度量拓扑(metric topology)。 - Euclid 空间上通常的拓扑由2-范数定义出的开集给出,它是度量拓扑。
- 离散拓扑(discrete topology):集合
的所有子集组成的集合(幂集),开集定义为每一个子集。它是在集合包含意义下该点集的最大的拓扑。 - 余有限拓扑(finite complement topology):无穷点集
上定义一个拓扑
,其中的开集为空集或补集为有限集的子集合。 - 余可数拓扑(countable complement topology):无穷点集
上定义一个拓扑
,其中的开集为空集或补集为可数集的子集合。
邻域[]
假设
,那么点
的一个邻域(neighborhood)是指包含
的一个开集
,有的资料中不要求
是开集,未作区分我们常称邻域为开集的情形为开邻域。有的资料上定义
的邻域
的方式是:
包含包含
的一个开集
即可,即:
,不要求
是否是开集,而我们定义的邻域始终是开集。
一个点集
的邻域定义为包含
的开集。
闭包、内部与边界[]
给定拓扑空间
的一个子集
,我们定义闭包和内部:
的闭包
(closure):
中所有包含
的闭集的交集。
的内部
(interior):
中所有含于
的开集的并集。
这两个是对偶概念,其他衍生出的概念有
的外部
(exterior):
的边界
(boundary):
它们的基本性质参见对应页面。
聚点与极限点[]
设
是一个拓扑空间,
,
称为
的聚点(accumulation point)定义为,
的任何邻域都包含
的至少一个点,上述定义可以把邻域改为开邻域。
的全体聚点的集合称为
的导集,记作
称为
的极限点(limit point)定义为,
的任何邻域都包含
的至少一个点。有的资料中对聚点和极限点的概念不加区分。
拓扑基[]
设
是一个拓扑空间,如果存在一组开集
满足:
的任意非空开集可以写成
中集合的并集,那么我们就称
是
的一组拓扑基(basis)。
如果拓扑空间
具有一个可数的拓扑基,我们就称其为第二可数空间。
可分性[]
参见:拓扑可分公理。
如果拓扑空间
具有可数稠密子集,我们就称其为可分空间。以下的空间均是可分的,且一个比一个强:
空间:对于
中任意的两点,存在其中一点的开邻域不包含另外一点。
空间:对于
中任意的两点,存在每一点的开邻域不包含另外一点。
空间:对于
中任意的两点,存在各自的开邻域使得这两个邻域不相交。也被称为豪斯多夫空间。
拓扑空间的映射
在点
称为是连续的(continuous)是指,对
在
中的任何邻域
,
是
的邻域,形象来说就是——开集的原象是开集。
如果
在
的每一点都连续,则称
是连续的。
称为是同胚映射或简称同胚(homeomorphism),如果
是双射且
是连续的。拓扑空间在同胚意义下的不变的量或性质,称为拓扑不变量或拓扑性质,这是拓扑学研究的重点。
参考资料
- John M. Lee, Introduction to Topological Manifolds(2nd Ed.), Springer, New York, 2010-12, ISBN
978-1-4419-7939-1
. - 熊金城, 《点集拓扑讲义(第五版)》, 高等教育出版社, 北京, 2020-06, ISBN
978-7-0405-3617-1
. - 尤承业, 《基础拓扑学讲义》, 北京大学出版社, 北京, 1997-01, ISBN
978-7-3010-3103-2
.