拓扑空间

拓扑学中，拓扑空间（topology space）是一种在非空集合中引入集合开集和闭集等结构的空间。

拓扑

集合$X$上的一个拓扑$\mathcal{T}$（topology）是由$X$的一些子集构成的子集族，即$\mathcal{T} = \{ A_\alpha \subset X | \alpha \in I \}$，其中$I$是指标集，这个子集族满足

1. $\mathcal{T}$中任意多个集合的并集依然在$\mathcal{T}$中；
2. $\mathcal{T}$中有限个（或任意两个）集合的交集依然在$\mathcal{T}$中；
3. 全集$X$和空集$\varnothing$在$\mathcal{T}$中。

定义中我们尽量不使用集合的包含关系的原因是，子集族可能不是一个集合。拓扑$\mathcal{T}$中的元素称为开集，而闭集则被定义为开集的补集。集合$X$连同拓扑$\mathcal{T}$组成一个拓扑空间$(X,\mathcal{T})$，在不引起混淆的情况下也记作$X$。 上述定义拓扑的开集公理也可换为闭集公理等其它公理，详见拓扑。

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1. 对于一个非空集合$X$来说，$\mathcal{T} = \{ X, \varnothing \}$始终是一个拓扑，这样的拓扑称为平凡拓扑（trivial topology），由此的空间称为平凡拓扑空间。
2. 度量空间$(X,\rho)$中的度量可以诱导出一个拓扑，其中的开集就定义为度量空间中的开集，这样的拓扑称为度量拓扑（metric topology）。
3. Euclid 空间上通常的拓扑由2-范数定义出的开集给出，它是度量拓扑。
4. 离散拓扑（discrete topology）：集合$X$的所有子集组成的集合（幂集），开集定义为每一个子集。它是在集合包含意义下该点集的最大的拓扑。
5. 余有限拓扑（finite complement topology）：无穷点集$X$上定义一个拓扑$\mathcal{T}$，其中的开集为空集或补集为有限集的子集合。
6. 余可数拓扑（countable complement topology）：无穷点集$X$上定义一个拓扑$\mathcal{T}$，其中的开集为空集或补集为可数集的子集合。

邻域

假设$x \in X$，那么点$x$的一个邻域（neighborhood）是指包含$x$的一个开集$U$，有的资料中不要求$U$是开集，未作区分我们常称邻域为开集的情形为开邻域。有的资料上定义$x \in X$的邻域$U$的方式是：$U$包含包含$x$的一个开集$V$即可，即：$x \in V \subset U$，不要求$U$是否是开集，而我们定义的邻域始终是开集。

一个点集$E \subset X$的邻域定义为包含$E$的开集。

闭包、内部与边界

给定拓扑空间$X$的一个子集$A$，我们定义闭包和内部：

1. $A$的闭包$\overline{A}$（closure）：$X$中所有包含$A$的闭集的交集。
2. $A$的内部$\text{Int}(A)$（interior）：$X$中所有含于$A$的开集的并集。

这两个是对偶概念，其他衍生出的概念有

1. $A$的外部$\text{Ext}(A)$（exterior）：$X - \overline{A}.$
2. $A$的边界$\partial A$（boundary）：$X - \text{Int}(A) - \text{Ext}(A).$

它们的基本性质参见对应页面。

聚点与极限点

设$X$是一个拓扑空间，$A \subset X$，$p \in A$称为$A$的聚点（accumulation point）定义为，$p$的任何邻域都包含$A - \{ p \}$的至少一个点，上述定义可以把邻域改为开邻域。$A$的全体聚点的集合称为$A$的导集，记作$A'.$

$p \in A$称为$A$的极限点（limit point）定义为，$p$的任何邻域都包含$A$的至少一个点。有的资料中对聚点和极限点的概念不加区分。

拓扑基

设$X$是一个拓扑空间，如果存在一组开集$\mathcal{B}$满足：$X$的任意非空开集可以写成$\mathcal{B}$中集合的并集，那么我们就称$\mathcal{B}$是$X$的一组拓扑基（basis）。

如果拓扑空间$X$具有一个可数的拓扑基，我们就称其为第二可数空间。

可分性

参见：拓扑可分公理。

如果拓扑空间$X$具有可数稠密子集，我们就称其为可分空间。以下的空间均是可分的，且一个比一个强：

1. $T_0$空间：对于$X$中任意的两点，存在其中一点的开邻域不包含另外一点。
2. $T_1$空间：对于$X$中任意的两点，存在每一点的开邻域不包含另外一点。
3. $T_2$空间：对于$X$中任意的两点，存在各自的开邻域使得这两个邻域不相交。也被称为豪斯多夫空间。

连续映射

拓扑空间的映射$f: X \to Y$在点$x \in X$称为是连续的（continuous）是指，对$f(x)$在$Y$中的任何邻域$N$，$f^{-1} (N)$是$x$的邻域，形象来说就是——开集的原象是开集。

如果$f$在$X$的每一点都连续，则称$f$是连续的。

$f: X \to Y$称为是同胚映射或简称同胚（homeomorphism），如果$f$是双射且$f^{-1}$是连续的。拓扑空间在同胚意义下的不变的量或性质，称为拓扑不变量或拓扑性质，这是拓扑学研究的重点。

参考资料

1. John M. Lee, Introduction to Topological Manifolds(2nd Ed.), Springer, New York, 2010-12, ISBN 978-1-4419-7939-1.
2. 熊金城, 《点集拓扑讲义（第五版）》, 高等教育出版社, 北京, 2020-06, ISBN 978-7-0405-3617-1.
3. 尤承业, 《基础拓扑学讲义》, 北京大学出版社, 北京, 1997-01, ISBN 978-7-3010-3103-2.