拓撲對偶

拓撲線性空間中的連續線性泛函全體被稱為是自然對偶，我們可抽象出定義對偶的概念的核心要素（分離性質）來推廣得到一般的對偶空間，這就是拓撲對偶。

自然對偶

給定一個拓撲線性空間$X$，它的基礎數域是$\mathbb{K}$，$f: X \to \mathbb{K}$線性，那麼以下幾款等價：

1. $f$在$X$上（拓撲）連續。
2. $f$在原點處連續。
3. $f$在原點的任何有界開鄰域$O$上有界。
4. 存在非空開集$O$使得$f(O)\neq \mathbb {K}$。
5. $f$的線性核$\ker f=\{x\in X:f(x)=0\}$是閉集。

關於這個定理/命題的證明，單擊這裡以顯示/摺疊

1. $(1)\Rightarrow (2)$：平凡。
2. $(2)\Rightarrow (1)$：如果存在$X$中的網$\{x_{\alpha }\}$使其收斂到$x \in X$，那麼$\{x_{\alpha }-x\}$收斂到零，進而根據$f$在原點處的連續性得到$\{f(x_{\alpha }-x)\}$收斂到零，於是由線性性得到$f(x_{\alpha })-f(x)=f(x_{\alpha }-x)$，進而$\{f(x_{\alpha })\}$收斂到$f(x)$。
3. $(2)\Rightarrow (3)$：由有界性的序列等價刻畫，任取$x_{n}\in O,\lambda _{n}\in \mathbb {K} ,\lambda _{n}\to 0$，我們有$\lambda _{n}f(x_{n})=f(\lambda _{n}x_{n})\to 0$，這是因為$\{\lambda _{n}x_{n}\}\subset O$進而其趨近於零元素。
4. $(3)\Rightarrow (4)$：這裡的$O$就取第三條里的有界開集。
5. $(4)\Rightarrow (2)$：對任意的$x\in O$並取一個原點的均衡鄰域$U\subset O-x$，那麼$f(O-x)=f(O)-f(x)\neq \mathbb {K}$，而$f(U)\subset f(O-x)$，這樣存在$\lambda \in \mathbb {K} \setminus f(U)$使得對任意的$y \in U$都有$|f(y)|<|\lambda |$，於是對任意的$\varepsilon > 0$都有$f(\varepsilon |\lambda |^{-1}U)\subset K(\varepsilon )=\{\lambda \in \mathbb {K} :|\lambda |<\varepsilon \}$，於是$f$在原點連續，
6. $(1)\Rightarrow (5)$：連續映射閉集$\{0\}\subset \mathbb {K}$的原象是閉集。
7. $(5)\Rightarrow (1)$：如果$\ker f=X$，那麼$f$是零泛函，固然連續，如果$\ker f<X$，那麼$X\setminus \ker f$是非空開集，且$0\notin X\setminus \ker f$，由第四條結論取$O=X\setminus \ker f$就得到結論。