拓扑对偶

拓扑线性空间中的连续线性泛函全体被称为是自然对偶，我们可抽象出定义对偶的概念的核心要素（分离性质）来推广得到一般的对偶空间，这就是拓扑对偶。

自然对偶

给定一个拓扑线性空间$X$，它的基础数域是$\mathbb{K}$，$f: X \to \mathbb{K}$线性，那么以下几款等价：

1. $f$在$X$上（拓扑）连续。
2. $f$在原点处连续。
3. $f$在原点的任何有界开邻域$O$上有界。
4. 存在非空开集$O$使得$f(O)\neq \mathbb {K}$。
5. $f$的线性核$\ker f=\{x\in X:f(x)=0\}$是闭集。

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1. $(1)\Rightarrow (2)$：平凡。
2. $(2)\Rightarrow (1)$：如果存在$X$中的网$\{x_{\alpha }\}$使其收敛到$x \in X$，那么$\{x_{\alpha }-x\}$收敛到零，进而根据$f$在原点处的连续性得到$\{f(x_{\alpha }-x)\}$收敛到零，于是由线性性得到$f(x_{\alpha })-f(x)=f(x_{\alpha }-x)$，进而$\{f(x_{\alpha })\}$收敛到$f(x)$。
3. $(2)\Rightarrow (3)$：由有界性的序列等价刻画，任取$x_{n}\in O,\lambda _{n}\in \mathbb {K} ,\lambda _{n}\to 0$，我们有$\lambda _{n}f(x_{n})=f(\lambda _{n}x_{n})\to 0$，这是因为$\{\lambda _{n}x_{n}\}\subset O$进而其趋近于零元素。
4. $(3)\Rightarrow (4)$：这里的$O$就取第三条里的有界开集。
5. $(4)\Rightarrow (2)$：对任意的$x\in O$并取一个原点的均衡邻域$U\subset O-x$，那么$f(O-x)=f(O)-f(x)\neq \mathbb {K}$，而$f(U)\subset f(O-x)$，这样存在$\lambda \in \mathbb {K} \setminus f(U)$使得对任意的$y \in U$都有$|f(y)|<|\lambda |$，于是对任意的$\varepsilon > 0$都有$f(\varepsilon |\lambda |^{-1}U)\subset K(\varepsilon )=\{\lambda \in \mathbb {K} :|\lambda |<\varepsilon \}$，于是$f$在原点连续，
6. $(1)\Rightarrow (5)$：连续映射闭集$\{0\}\subset \mathbb {K}$的原象是闭集。
7. $(5)\Rightarrow (1)$：如果$\ker f=X$，那么$f$是零泛函，固然连续，如果$\ker f<X$，那么$X\setminus \ker f$是非空开集，且$0\notin X\setminus \ker f$，由第四条结论取$O=X\setminus \ker f$就得到结论。