拓扑基

在拓扑空间中，拓扑基（topology basis）是描述和构建拓扑空间的一个概念和手段。

定义

设$X$是一个拓扑空间，如果存在一组开集$\mathcal{B}$满足：$X$的任意非空开集可以写成$\mathcal{B}$中集合的并集，那么我们就称$\mathcal{B}$是$X$的一组拓扑基。

如果拓扑空间$X$具有一个可数的拓扑基，我们就称其为第二可数空间。

度量空间$X$的所有开球是$X$的拓扑基。

局部准则

以下的性质被称为拓扑基的局部准则（basis criterion）：

假设$\mathcal{B}$是拓扑空间$X$的拓扑基，集合$U \subset X$是开集当且仅当它满足如下条件：

对每一个$p \in U$，存在一个元素$B \in \mathcal{B}$使得$p \in B \subset U.$

连续函数

假设$X, Y$是拓扑空间，$\mathcal{B}$是$Y$的一个拓扑基，那么$f: X \to Y$是连续的当且仅当对任意$B \in \mathcal{B}$，$f^{-1}(B)$是开集。

通过拓扑基构造拓扑空间

假设$X$是一集合，$A$是$P(X)$的子集（即$X$的一些子集合的集合），那么$\mathcal{B}$是$X$上某一个拓扑的拓扑基当且仅当$\mathcal{B}$满足：

1. $\bigcup_{B \in \mathcal{B}} B = X.$
2. 如果$B_1, B_2 \in \mathcal{B}$且$x \in B_1 \cap B_2$，那么存在$B_3 \in \mathcal{B}$使得$x \in B_3 \subset B_1 \cap B_2.$

这个$X$上的唯一拓扑被称作$\mathcal{B}$生成的拓扑。

子基和弱拓扑

通过一族集合以一种最经济的手段生成一个拓扑空间的方式是将这族集合当作子基（subbasis）进行生成，即弱拓扑：

假设$X$是一集合，$A$是$P(X)$的子集（即$X$的一些子集合的集合），定义拓扑$T$：其中的开集是$X, \varnothing$以及$A$中有限交的并集。

这是保证$A$中元素均为开集的最粗的拓扑。假设另有拓扑空间$Y$，映射$f: Y \to X$连续当且仅当对任意的$U \in A$，$f^{-1}(U)$在$Y$中是开集。

参考资料

1. John M. Lee, Introduction to Topological Manifolds(2nd Ed.), Springer, New York, 2010-12, ISBN 978-1-4419-7939-1.