拓扑和

在点集拓扑理论中，拓扑和是一种构造新的拓扑空间的手段，其产生的空间又称无交并空间（disjoint union space）。

定义

假设有一族拓扑空间$\{ X_\alpha \}_{\alpha \in A}$，我们构造一个新的空间$\coprod_{\alpha \in A} X_\alpha$，其中的元素为二元有序对$(x, \alpha)$，表示$x \in X_\alpha.$注意是中存在一个典则单射（canonical injection）$\iota_\alpha: X_\alpha \to \coprod_{\alpha \in A} X_\alpha, x \mapsto (x, \alpha).$

其上的拓扑定义为：$U \subset \coprod_{\alpha \in A} X_\alpha$是开集当且仅当$U$和每一个典则映射的象集$\iota_\alpha(X_\alpha)$的交集的原象集是$X_\alpha$中的开集。这个拓扑称为无交并拓扑（disjoint union topology），相应的空间称为拓扑和或无交并空间。

特征性质

假设$\{ X_\alpha \}_{\alpha \in A}$是一族拓扑空间，对任意拓扑空间$Y$，映射$f: \coprod_{\alpha \in A} X_\alpha \to Y$是连续的当且仅当它在每个$\iota_\alpha(X_\alpha)$上的限制映射$f|_{\iota_\alpha(X_\alpha)}: \iota_\alpha(X_\alpha) \to Y$是连续的，且无交并拓扑是唯一满足这个性质的拓扑。

其它性质

假设$\{ X_\alpha \}_{\alpha \in A}$是一族拓扑空间，

1. $\{ X_\alpha \}_{\alpha \in A}$中的子集$U$是闭集当且仅当$U$和每一个典则映射的象集$\iota_\alpha(X_\alpha)$的交集的原象集是$X_\alpha$中的闭集。
2. 每一个典则单射$\iota_\alpha$是拓扑嵌入，同时是开映射和闭映射。
3. 如果$X_\alpha$是 Hausdorff 空间，那么无交并空间也是。
4. 如果$X_\alpha$是第一可数空间，那么无交并空间也是。
5. 如果$X_\alpha$是第二可数空间且指标集$A$是可数的，那么无交并空间也是第二可数的。
6. 假设$X$是任意拓扑空间且$Y$是离散空间，那么$X \times Y$和$\coprod_{y \in Y} X$是同胚的拓扑空间。

参考资料

1. John M. Lee, Introduction to Topological Manifolds(2nd Ed.), Springer, New York, 2010-12, ISBN 978-1-4419-7939-1.