在拓扑学中,分离公理是一组确定拓扑空间具有何种分离性质的公理。
定义[]
如果拓扑空间
具有可数稠密子集,我们就称其为可分空间。
空间:对于
中任意的两不同点,存在其中一点的开邻域不包含另外一点。
空间:对于
中任意的两不同点,存在每一点的开邻域不包含另外一点。
空间:对于
中任意的两不同点,存在各自的开邻域使得这两个邻域不相交。也被称为豪斯多夫空间。
空间:任意一点与不含它的任意闭集有不相交的开邻域。有的资料上称其为正则空间,有的资料上还要求
公理成立。
空间:任意两个不相交的闭集有不相交的开邻域。有的资料上称其为正规空间,有的资料上还要求
公理成立。
性质[]
主要讨论除了
公理之外的拓扑空间的性质,关于
公理的拓扑空间详见 Hausdorff 空间。
是
的,当且仅当
中不同的单点集有不同的闭包。
是
的,当且仅当
,要么
,要么
。
是
的,当且仅当
中的有限集是闭的,当且仅当
中每一个单点集是闭的。
是
的,如果
的拓扑基只有有限个元素,则
是有限离散空间。
是
的,当且仅当对任意
,点
的所有邻域的交为单点集
空间中任何一个包含多于一点的有限子集都不连通。
空间是
空间。
- 给定一个非空集合
,始终存在一个拓扑使得
是
的。
空间中集合
的聚点
的任意邻域与
交为无穷集。
空间中有限个点构成的序列收敛当且仅当存在
,且当
时
恒为常数。
空间中任意子集的导集是闭集。
- 假设
是
的,如果
中由异于
的点构成的一个序列
收敛于
,那么
存在一个由两两不同的点构成的子列收敛于
空间是
的。
空间中一个序列最多只有一个极限点。
- 满足
公理的拓扑空间是
的。
- 满足
公理的拓扑空间是
的。
- 满足
公理的拓扑空间是
的。
空间的子空间和乘积空间是
的。
- 度量空间均满足上述
公理。
是
的当且仅当任意一点
和它的开邻域
,存在
的开邻域
使得
是
的当且仅当任意闭集
和它的开邻域
,存在
的开邻域
使得
是
的当且仅当如果
且
是闭集,使得
,则
和
分别有开邻域
使得
是
的当且仅当如果
是闭集,使得
,则
和
分别有开邻域
使得
空间的子空间都是对应
的,但是
未必,
空间的闭子空间是
的。
空间的有限乘积空间都是对应
的,但是
未必。
都不是可商的,即若
是连续映射,
满足某个分离公理,那么
未必满足对应的分离公理。但是有如下两个结果:
- 假设
是闭连续映射,
是
的,那么
是
的。
- 假设
是
的且
是
上的一个等价关系,
是自然投射,那么商空间
是
的当且仅当每个纤维
是
中的闭集。
完全正规空间[]
一个拓扑空间
是完全正规空间,是指它的所有的子空间都是
的。这等价于
的任意两个隔离子集
分别有开邻域
不相交。
完全正则空间[]
详见完全正则空间。
一个拓扑空间
是完全正则的,是指对任意
以及不含
的闭集
,存在一个连续映射
满足
完全正则的
空间称为
空间,或者 Tychonoff 空间。它是
的。
参考资料
- John M. Lee, Introduction to Topological Manifolds(2nd Ed.), Springer, New York, 2010-12, ISBN
978-1-4419-7939-1
. - 熊金城, 《点集拓扑讲义(第五版)》, 高等教育出版社, 北京, 2020-06, ISBN
978-7-0405-3617-1
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