拓扑分离公理

在拓扑学中，分离公理是一组确定拓扑空间具有何种分离性质的公理。

定义

如果拓扑空间$X$具有可数稠密子集，我们就称其为可分空间。

1. $T_0$空间：对于$X$中任意的两不同点，存在其中一点的开邻域不包含另外一点。
2. $T_1$空间：对于$X$中任意的两不同点，存在每一点的开邻域不包含另外一点。
3. $T_2$空间：对于$X$中任意的两不同点，存在各自的开邻域使得这两个邻域不相交。也被称为豪斯多夫空间。
4. $T_3$空间：任意一点与不含它的任意闭集有不相交的开邻域。有的资料上称其为正则空间，有的资料上还要求$T_1$公理成立。
5. $T_4$空间：任意两个不相交的闭集有不相交的开邻域。有的资料上称其为正规空间，有的资料上还要求$T_1$公理成立。

性质

主要讨论除了$T_2$公理之外的拓扑空间的性质，关于$T_2$公理的拓扑空间详见 Hausdorff 空间。

1. $X$是$T_0$的，当且仅当$X$中不同的单点集有不同的闭包。
2. $X$是$T_0$的，当且仅当$\forall x, y \in X, x \ne y$，要么$\{ x \} \cap \overline{\{ y \}} = \varnothing$，要么$\{ y \} \cap \overline{\{ x \}} = \varnothing$。
3. $X$是$T_1$的，当且仅当$X$中的有限集是闭的，当且仅当$X$中每一个单点集是闭的。
4. $X$是$T_1$的，如果$X$的拓扑基只有有限个元素，则$X$是有限离散空间。
5. $X$是$T_1$的，当且仅当对任意$x \in X$，点$x$的所有邻域的交为单点集$\{ x \}.$
6. $T_1$空间中任何一个包含多于一点的有限子集都不连通。
7. $T_1$空间是$T_0$空间。
8. 给定一个非空集合$X$，始终存在一个拓扑使得$X$是$T_1$的。
9. $T_1$空间中集合$A$的聚点$x \in A$的任意邻域与$A$交为无穷集。
10. $T_1$空间中有限个点构成的序列收敛当且仅当存在$N \in \N$，且当$n > N$时$x_n$恒为常数。
11. $T_1$空间中任意子集的导集是闭集。
12. 假设$X$是$T_1$的，如果$X$中由异于$x \in X$的点构成的一个序列$\{ x_i \}$收敛于$x$，那么$\{ x_i \}$存在一个由两两不同的点构成的子列收敛于$x.$
13. $T_2$空间是$T_1$的。
14. $T_2$空间中一个序列最多只有一个极限点。
15. 满足$T_0, T_3$公理的拓扑空间是$T_2$的。
16. 满足$T_1, T_3$公理的拓扑空间是$T_2$的。
17. 满足$T_1, T_4$公理的拓扑空间是$T_3$的。
18. $T_3$空间的子空间和乘积空间是$T_3$的。
19. 度量空间均满足上述$T_0, T_1, T_2, T_3, T_4$公理。
20. $X$是$T_3$的当且仅当任意一点$x \in X$和它的开邻域$U$，存在$x$的开邻域$V$使得$\overline{V}\subset U.$
21. $X$是$T_4$的当且仅当任意闭集$A \subset X$和它的开邻域$U$，存在$A$的开邻域$V$使得$\overline{V}\subset U.$
22. $X$是$T_3$的当且仅当如果$x \in X$且$A \subset X$是闭集，使得$x \notin A$，则$x$和$A$分别有开邻域$U, V$使得$\overline{U} \cap \overline{V} = \varnothing.$
23. $X$是$T_4$的当且仅当如果$A, B \subset X$是闭集，使得$A \cap B = \varnothing$，则$A$和$B$分别有开邻域$U, V$使得$\overline{U} \cap \overline{V} = \varnothing.$
24. $T_1, T_2, T_3$空间的子空间都是对应$T_1, T_2, T_3$的，但是$T_4$未必，$T_4$空间的闭子空间是$T_4$的。
25. $T_1, T_2, T_3$空间的有限乘积空间都是对应$T_1, T_2, T_3$的，但是$T_4$未必。
26. $T_0, T_1, T_2, T_3, T_{3.5}, T_4$都不是可商的，即若$f: X \to Y$是连续映射，$X$满足某个分离公理，那么$f(X)$未必满足对应的分离公理。但是有如下两个结果：
27. 假设$f: X \to Y$是闭连续映射，$X$是$T_4$的，那么$f(X)$是$T_4$的。
28. 假设$X$是$T_1$的且$\sim$是$X$上的一个等价关系，$\pi: X \to X/\sim$是自然投射，那么商空间$X/\sim$是$T_1$的当且仅当每个纤维$\pi^{-1}(y)$是$X$中的闭集。

完全正规空间

一个拓扑空间$X$是完全正规空间，是指它的所有的子空间都是$T_4$的。这等价于$X$的任意两个隔离子集$A, B$分别有开邻域$U, V$不相交。

完全正则空间

详见完全正则空间。

一个拓扑空间$X$是完全正则的，是指对任意$x \in X$以及不含$x$的闭集$A$，存在一个连续映射$f: X \to [0, 1]$满足$f(x) = 0, f(A) = 1.$

完全正则的$T_1$空间称为$T_{3.5}$空间，或者 Tychonoff 空间。它是$T_3$的。

参考资料

1. John M. Lee, Introduction to Topological Manifolds(2nd Ed.), Springer, New York, 2010-12, ISBN 978-1-4419-7939-1.
2. 熊金城, 《点集拓扑讲义（第五版）》, 高等教育出版社, 北京, 2020-06, ISBN 978-7-0405-3617-1.