拓扑

拓扑（topology）是拓扑空间中的基本概念，它是一系列被称为“开集”的元素的集族，一个拓扑空间正是一个非空点集装备上其上的某种拓扑而得名的。

给一个非空集合定义拓扑可以有多种方式，例如

1. #开集公理：规定拓扑为哪些被称之为是开集的元素组成的。
2. #闭集公理：规定拓扑为哪些被称之为是闭集的元素诱导的。
3. #闭包公理：规定拓扑为哪些被称之为是闭包的概念诱导的。
4. #内部公理：规定拓扑为哪些被称之为是内部的概念诱导的。
5. #邻域公理：规定拓扑为哪些被称之为是邻域的概念诱导的。
6. #外部公理：规定拓扑为哪些被称之为是外部的概念诱导的。
7. #边界公理：规定拓扑为哪些被称之为是边界的概念诱导的。
8. #导集公理：规定拓扑为哪些被称之为是导集的概念诱导的。

这几个公理是互相等价的，声明了某个集族后均可以推出另外几种集族，且与直接用它们的公理化定义得到的结果一致。

开集公理

非空集合$X$上的一个拓扑$\mathcal{T}$（topology）是由$X$的一些子集构成的子集族，即$\mathcal{T} = \{ A_\alpha \subset X | \alpha \in I \}$，其中$I$是指标集，这个子集族满足

1. $\mathcal{T}$中任意多个集合的并集依然在$\mathcal{T}$中；
2. $\mathcal{T}$中有限个（或任意两个）集合的交集依然在$\mathcal{T}$中；
3. 全集$X$和空集$\varnothing$在$\mathcal{T}$中。

拓扑$\mathcal{T}$中的元素称为开集。

闭集公理

给定非空集合$X$，由$X$的一些子集构成的子集族$\mathcal{T}' = \{ A_\alpha \subset X | \alpha \in I \}$，其中$I$是指标集，这个子集族满足

1. $\mathcal{T}'$中任意多个集合的交集依然在$\mathcal{T}'$中；
2. $\mathcal{T}'$中有限个（或任意两个）集合的并集依然在$\mathcal{T}'$中；
3. 全集$X$和空集$\varnothing$在$\mathcal{T}'$中。

$\mathcal{T}'$中的元素称为闭集，闭集的补集定义为开集。开集公理和闭集公理是对偶的。

闭包公理

给定非空集合$X$，定义幂集之间的一种运算（称之为闭包运算）$c^*: \mathcal{P}(X) \to \mathcal{P}(X)$，它满足：

1. $c^*(\varnothing) = \varnothing.$
2. $A \subset c^*(A).$
3. $c^*(A \cup B) = c^*(A) \cup c^*(B).$
4. $c^*(c^*(A)) = c^*(A).$

我们称$c^*(A)$是$A$的闭包。对应的拓扑中的开集定义为满足$c^*(U^c) = U^c$的集合$U$。这四条公理也被称为 Kuratovski 闭包公理，在一些早期的拓扑学教材中作为拓扑的定义出现。

内部公理

给定非空集合$X$，定义幂集之间的一种运算（称之为内部运算）$\text{Int}(\cdot): \mathcal{P}(X) \to \mathcal{P}(X)$，它满足：

1. $\text{Int}(X) = X.$
2. $\text{Int}(A) \subset A.$
3. $\text{Int}(A \cap B) = \text{Int}(A) \cap \text{Int}(B).$
4. $\text{Int}(\text{Int}(A)) = \text{Int}(A).$

我们称$\text{Int}(A)$是$A$的内部。对应的拓扑中的开集定义为满足$\text{Int}(U) = U$的集合$U$。内部公理和闭包公理是对偶的。

邻域公理

假设有拓扑空间$X$，$x \in X$的所有邻域的集合称为$x$的邻域系，记作$\mathcal{N}(x)$。 假设$X$是拓扑空间，$x \in X$且$\mathcal{N}(x)$是$x$的一个邻域系。

1. $\mathcal{N}(x) \ne \varnothing$且若$U \in \mathcal{N}(x)$那么$x \in U.$
2. 若$U, V \in \mathcal{N}(x)$，那么$U \cap V \in \mathcal{N}(x).$
3. 若$U \in \mathcal{N}(x), U \subset V$，那么$V \in \mathcal{N}(x).$
4. 若$U \in \mathcal{N}(x)$则存在$V \in \mathcal{N}(x)$使得$V \subset U$且对任意$y \in V$都有$V \in \mathcal{N}(y).$

实际上，从上面四点我们可以建立拓扑的邻域公理：假设$X$是一个集合，又设对每一点$x \in X$都存在一个集合系$\mathcal{N}(x)$使得它满足如上四点，则$X$有唯一的一个拓扑使得对任意$x \in X$，$\mathcal{N}(x)$是$x$的邻域系。

这个拓扑中的开集是这样诱导的：其中的开集定义为$X$的子集$U$，且如果$x \in U$则$U \in \mathcal{N}(x).$这个拓扑和开集公理定义的拓扑等价。

外部公理

给定非空集合$X$，定义幂集之间的一种运算（称之为外部运算）$\text{Ext}(\cdot): \mathcal{P}(X) \to \mathcal{P}(X)$，它满足：

1. $\text{Ext}(\varnothing) = X.$
2. $\text{Ext}(A) \subset A^c.$
3. $\text{Ext}(A \cup B) = \text{Ext}(A) \cap \text{Ext}(B).$
4. $\text{Ext}(\text{Ext}(A)^c) = \text{Ext}(A).$

我们称$\text{Ext}(A)$是$A$的外部。对应的拓扑中的开集定义为满足${\text{Ext}}(U)=U^{c}$的集合$U$。

边界公理

给定非空集合$X$，定义幂集之间的一种运算（称之为边界运算）$\text{Bd}(\cdot): \mathcal{P}(X) \to \mathcal{P}(X)$，它满足：

1. $\text{Bd}(\varnothing) = \varnothing.$
2. $\text{Bd}(A) = \text{Bd}(A^c).$
3. 若$A \subset B$，则$\text{Bd}(A) \subset B \cup \text{Bd}(B).$
4. $\text{Bd}(A \cup B) \subset \text{Bd}(A) \cup \text{Bd}(B).$
5. $\text{Bd}(\text{Bd}(A)) \subset \text{Bd}(A).$

我们称$\text{Bd}(A)$是$A$的边界。对应的拓扑中的开集定义为满足$\text{Bd}(U^c) \subset U^c$的集合$U$。

导集公理

给定非空集合$X$，定义幂集之间的一种运算（称之为导集运算）$\text{d}(\cdot): \mathcal{P}(X) \to \mathcal{P}(X)$，它满足：

1. $\text{d}(\varnothing) = \varnothing.$
2. $x \in \text{d}(A) \iff x \in \text{d}(A \setminus \{ x \}).$
3. $\text{d}(A \cup B) = \text{d}(A) \cup \text{d}(B).$
4. $\text{d}(\text{d}(A)) = A \cup \text{d}(A).$

我们称$\text{d}(A)$是$A$的导集。对应的拓扑中的开集定义为满足$\text{d}(U^c) \subset U^c$的集合$U$。

参考资料

1. John M. Lee, Introduction to Topological Manifolds(2nd Ed.), Springer, New York, 2010-12, ISBN 978-1-4419-7939-1.
2. 熊金城, 《点集拓扑讲义（第五版）》, 高等教育出版社, 北京, 2020-06, ISBN 978-7-0405-3617-1.
3. 尤承业, 《基础拓扑学讲义》, 北京大学出版社, 北京, 1997-01, ISBN 978-7-3010-3103-2.