抽象函数

在分析中，抽象函数是指一类定义域为实数子集$I$且值域为赋范线性空间的一类映射，它是赋范线性空间中“道路”（path）概念的体现，是一元向量值函数。

为了从测度论和泛函分析的角度探讨抽象函数的性质，我们需要对定义域空间$I$（通常是区间）赋予测度，这里我们通常选择的是 Lebesgue 测度或其它 σ 有限的完全测度$\mu$。

下面的讨论可以将定义域所在的线性空间推广到一般的数域$\mathbb{K}$，只要在定义域上定义出一种 σ 可加的完全测度$\mu$即可。相关内容部分讨论可参见算子值函数、Pettis 积分以及Bochner 积分等。

可测性

对于抽象函数$x:I\to X$，如果存在一列可数值函数$\{ x_k \}$使得$\{ x_k \}$几乎处处收敛于$x$，我们就称$x$是（强）可测函数，这等价于存在一个具有紧支集的函数序列$\{x_{k}\}\subset C_{c}(I,X)$使得它几乎处处收敛到$x$。此外，Pettis 定理指出了：抽象函数强可测当且仅当它是弱可测且几乎可分值。

我们接下来考察连续性蕴含可测性，自然希望得到弱拓扑下的连续性蕴含可测性，由于定义域上的强弱拓扑等价，我们希望得到值域上弱拓扑下连续的函数也是可测的：

如果抽象函数$x:I\to X$将$I$中任意强收敛序列映为$X$中的弱收敛序列，那么$x$强可测。

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为了应用 Pettis 定理，我们需要说明：

1. $x$弱可测：实际上对任意的$x^{*}\in X^{*}$，$t\mapsto \langle x^{*},x(t)\rangle$都是连续函数，自然可测。
2. $x$几乎可分值：实际上我们可以证明$x(I)$可分，假设$A$是$x(I\cap \mathbb {Q} )$的凸包，$\overline{A}$记为$A$的强闭包（由 Mazur 定理，这同时也是弱闭包），首先我们断言$x(I)\subset {\overline {A}}$，实际上对任意的$x(t)\in x(I)$都存在$t_{n}\in I\cap \mathbb {Q}$使得$t_{n}\to t$且$x(t_n)$在$X$中弱收敛到$x(t)$，于是$x(t)\in {\overline {A}}$。其次我们断言$\overline{A}$可分。实际上$A$可分，因为$x(I\cap \mathbb {Q} )$是$A$的可数稠密子集。

强可测抽象函数序列$\{x_{n}:I\to X\}$的几乎处处弱极限也是强可测的。

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和上一个定理证明类似。

1. $x$弱可测：实际上对任意的$x^{*}\in X^{*}$，$t\mapsto \langle x^{*},x_{n}(t)\rangle$都可测且$\langle x^{*},x_{n}(t)\rangle \to \langle x^{*},x(t)\rangle$几乎处处成立，因此$\langle x^{*},x(t)\rangle$可测。
2. $x$几乎可分值：令$E_{n}\subset I$是零测集且满足$x_{n}(I\setminus E_{n})$可分，令$E=\bigcup _{n\geqslant 1}E_{n}$，那么$E$也是零测集，令$A$是集合$\bigcup _{n\geqslant 1}x_{n}(I\setminus E)$的凸包，$\overline{A}$是$A$的强闭包，那么$x(I\setminus E)\subset {\overline {A}}$且$\overline{A}$是可分的。

可积性

定义一个强可测抽象函数的可积性以及（Bochner）积分，可以从简单函数逼近的角度（参见 Bochner 积分），也可以从连续函数逼近的角度，后者需要定义抽象连续函数的 Riemann 积分，我们就从这个角度给出可积性的定义。下面我们均假设$\mu$是 Lebesgue 测度。

假设抽象函数$x:I\to X$强可测，如果存在一列$\{x_{n}\}\subset C_{c}(I,X)$满足

$$\lim _{n\to \infty }\int _{I}\|x_{n}(t)-x(t)\|\mathrm {d} \mu (t)=0.$$

那么由$X$的完备性得到$\int _{I}x_{n}(t)\mathrm {d} \mu (t)$的极限存在，我们记作$\int _{I}x(t)\mathrm {d} \mu (t)$，这称为$x$在$I$上的 Bochner 积分，此时我们称$x$在$I$上 Bochner 可积。

对上述定义的 Bochner 积分的更多性质参见 Bochner 积分。

Lp 空间

对任意强可测抽象函数$x:I\to X$，定义$L^p$范数

$$\|x\|_{p}={\begin{cases}\displaystyle {\left(\int _{I}\|x(t)\|^{p}\mathrm {d} \mu (t)\right)^{\frac {1}{p}}},&1\leqslant p<+\infty ,\\\displaystyle {\inf _{\overset {E\subset I}{\underset {\mu (E)=0}{}}}\sup _{x\in I\setminus E}\|x(t)\|},&p=+\infty .\end{cases}}$$

对每个固定的$p\in [1,\infty ]$我们把所有$L^p$范数有限的$x$收集起来，构成一个空间，记作$L^{p}(I,X)$，他是一个 Banach 空间，且当$p < +\infty$的时候$C_{c}(I,X)$在$L^{p}(I,X)$中稠密，这些证明和实值函数的相关结论证明相仿，参见 Lp 空间。

共轭空间

由 Hölder 不等式，如果$x\in L^{p}(I,X),x^{*}\in L^{p'}(I,X^{*})$，那么

$$\int _{I}|\langle x^{*}(t),x(t)\rangle _{X^{*},X}|\mathrm {d} \mu (t)\leqslant \|x^{*}\|_{p^{'}}\|x\|_{p}.$$

于是$t\mapsto \langle x^{*}(t),x(t)\rangle _{X^{*},X}$可积，更一般地我们有如下关于共轭空间同构的结果：

假设$1 \leqslant p < +\infty$，$X$自反或$X^*$可分，那么$(L^{p}(I,X))^{*}\cong L^{p'}(I,X^{*})$。

连续线性算子

假设$A: X \to Y$是 Banach 空间之间的连续线性算子，且$x\in L^{p}(I,X)$，那么$Ax\in L^{p}(I,Y)$，同时

$$\|Ax\|_{p}\leqslant \|A\|\|x\|_{p}.$$

进一步，如果$p = 1$，那么

$$A\left(\int _{I}x(t)\mathrm {d} \mu (t)\right)=\int _{I}Ax(t)\mathrm {d} \mu (t).$$

Fatou 引理

由于$L^{p}(I,X)$是 Banach 空间，自然我们期望范数有弱下半连续性：

假设$\{f_{n}\}\subset L^{p}(I,X)$，如果存在抽象函数$f:I\to X$使得对几乎处处的$t\in I$成立：$f(t)$在$X$中弱收敛到$f(t)$，那么

$$\|f\|_{p}\leqslant \liminf _{n\to \infty }\|f_{n}\|_{p}.$$

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由这个推论可得$f(t):I\to X$强可测，令

$$g_{n}(t)=\inf _{k\geqslant n}\|f_{k}(t)\|,\quad g(t)=\lim _{n\to \infty }g_{n}(t),\quad {\text{a.e. }}t\in I.$$

由于对几乎处处的$t\in I$成立$g_{n}(t)\leqslant \|f_{n}(t)\|$结合单调收敛定理得到$g\in L^{p}(I)$以及

$$\|f\|_{L^{p}(I,X)}=\|g\|_{L^{p}(I)}\leqslant \lim _{n\to \infty }\|g_{n}\|_{L^{p}(I)}\leqslant \liminf _{n\to \infty }\|f_{n}\|_{L^{p}(I,X)}.$$

最后一个不等号是$X$中的范数的弱下半连续性。

Sobolev 空间

在一些偏微分方程的研究中，特别是对含有时间的方程，例如热方程和波动方程，常常需要研究抽象函数的弱导数，参见/Sobolev 空间。

参考资料

1. Cazenave Thierry, Haraux Alain, Martel Yvan, An Introduction to Semilinear Evolution Equations, Oxford University Press, 1998-10, ISBN 978-0-1985-0277-7.