在 Hilbert 空间理论中,投影算子 (projection operator)是一类将子空间(作为一个集合概念)算子化的工具。
定义 [ ]
假设
L
{\displaystyle L}
是 Hilbert 空间 的一个闭 子空间 ,那么
L
{\displaystyle L}
在
H
{\displaystyle H}
中有正交补
G
{\displaystyle G}
,进而
H
{\displaystyle H}
有直和分解
H
=
L
⊕
G
{\displaystyle H=L\oplus G}
,即对任意的
x
∈
H
{\displaystyle x \in H}
存在唯一的
y
∈
L
,
z
∈
G
{\displaystyle y\in L,z\in G}
使得
x
=
y
+
z
{\displaystyle x=y+z}
,令
P
L
:
x
↦
y
{\displaystyle P_{L}:x\mapsto y}
,它就被称为是
H
{\displaystyle H}
关于
L
{\displaystyle L}
的投影算子,它一定是连续的线性算子(见#投影定理 )。
投影定理 [ ]
对任意
H
{\displaystyle H}
中具有直和分解的元素
x
=
y
+
z
,
x
1
=
y
1
+
z
1
,
x
2
=
y
2
+
z
2
∈
H
{\displaystyle x=y+z,x_{1}=y_{1}+z_{1},x_{2}=y_{2}+z_{2}\in H}
而言:
对任意
k
1
,
k
2
∈
K
{\displaystyle k_{1},k_{2}\in \mathbb {K} }
,我们有
k
1
x
1
+
k
2
x
2
=
(
k
1
y
1
+
k
2
y
2
)
+
(
k
1
z
1
+
k
2
z
2
)
{\displaystyle k_{1}x_{1}+k_{2}x_{2}=(k_{1}y_{1}+k_{2}y_{2})+(k_{1}z_{1}+k_{2}z_{2})}
其中
k
1
y
1
+
k
2
y
2
∈
L
,
k
1
z
1
+
k
2
z
2
∈
G
{\displaystyle k_{1}y_{1}+k_{2}y_{2}\in L,k_{1}z_{1}+k_{2}z_{2}\in G}
于是
P
(
k
1
x
1
+
k
2
x
2
)
=
k
1
y
1
+
k
2
y
2
=
k
1
P
x
1
+
k
2
P
x
2
.
{\displaystyle P(k_{1}x_{1}+k_{2}x_{2})=k_{1}y_{1}+k_{2}y_{2}=k_{1}Px_{1}+k_{2}Px_{2}.}
‖
x
‖
=
‖
y
+
z
‖
⩽
‖
y
‖
+
‖
z
‖
{\displaystyle \|x\|=\|y+z\|\leqslant \|y\|+\|z\|}
即
‖
P
x
‖
⩽
‖
x
‖
.
{\displaystyle \|Px\|\leqslant \|x\|.}
P
x
=
y
{\displaystyle Px=y}
而
L
∩
G
=
{
0
}
{\displaystyle L\cap G=\{0\}}
这表
y
{\displaystyle y}
的直和分解只能是
y
=
y
+
0
{\displaystyle y=y+0}
于是
P
2
x
=
P
y
=
y
=
P
x
.
{\displaystyle P^{2}x=Py=y=Px.}
(
x
1
,
P
x
2
)
=
(
y
1
+
z
1
,
y
2
)
=
(
y
1
,
y
2
)
=
(
y
1
,
y
2
+
z
2
)
=
(
P
x
1
,
x
2
)
.
{\displaystyle (x_{1},Px_{2})=(y_{1}+z_{1},y_{2})=(y_{1},y_{2})=(y_{1},y_{2}+z_{2})=(Px_{1},x_{2}).}
一般我们称
P
2
=
P
{\displaystyle P^2=P}
的算子是幂等的,反过来:
H
{\displaystyle H}
上满足
P
2
=
P
{\displaystyle P^2=P}
的自伴算子是到某个闭子空间
L
{\displaystyle L}
的投影算子。
关于这个定理/命题的证明,单击这里以显示/折叠
基本性质 [ ]
我们先给出投影算子的和是投影算子的等价刻画:
H
{\displaystyle H}
上的两个投影算子
P
1
,
P
2
{\displaystyle P_1, P_2}
的和是投影算子当且仅当
P
1
P
2
=
0.
{\displaystyle P_{1}P_{2}=0.}
且此时
P
1
+
P
2
{\displaystyle P_{1}+P_{2}}
将
H
{\displaystyle H}
投影到
L
1
⊕
L
2
{\displaystyle L_{1}\oplus L_{2}}
,其中
L
1
,
L
2
{\displaystyle L_1, L_2}
分别是
P
1
,
P
2
{\displaystyle P_1, P_2}
对应的值域空间。
关于这个定理/命题的证明,单击这里以显示/折叠
“仅当”部分:
P
=
P
1
+
P
2
{\displaystyle P = P_1 + P_2}
如果是投影算子,那么
P
1
+
P
2
=
(
P
1
+
P
2
)
2
=
P
1
2
+
P
2
2
+
P
1
P
2
+
P
2
P
1
.
{\displaystyle P_{1}+P_{2}=(P_{1}+P_{2})^{2}=P_{1}^{2}+P_{2}^{2}+P_{1}P_{2}+P_{2}P_{1}.}
那么
P
1
(
P
1
P
2
+
P
2
P
1
)
=
P
1
P
2
+
P
1
P
2
P
1
=
0.
{\displaystyle P_{1}(P_{1}P_{2}+P_{2}P_{1})=P_{1}P_{2}+P_{1}P_{2}P_{1}=0.}
进一步
(
P
1
P
2
+
P
1
P
2
P
1
)
P
1
=
P
1
P
2
P
1
+
P
1
P
2
P
1
=
2
P
1
P
2
P
1
=
0.
{\displaystyle (P_{1}P_{2}+P_{1}P_{2}P_{1})P_{1}=P_{1}P_{2}P_{1}+P_{1}P_{2}P_{1}=2P_{1}P_{2}P_{1}=0.}
于是结合#A1 就得到
P
1
P
2
=
0.
{\displaystyle P_{1}P_{2}=0.}
“当”部分:我们有
P
2
P
1
=
P
2
∗
P
1
∗
=
(
P
1
P
2
)
∗
=
0.
{\displaystyle P_{2}P_{1}=P_{2}^{*}P_{1}^{*}=(P_{1}P_{2})^{*}=0.}
于是
(
P
1
+
P
2
)
2
=
P
1
2
+
P
2
2
=
P
1
+
P
2
.
{\displaystyle (P_{1}+P_{2})^{2}=P_{1}^{2}+P_{2}^{2}=P_{1}+P_{2}.}
自伴性由自伴算子的和依然是自伴算子得到,于是
P
1
+
P
2
{\displaystyle P_{1}+P_{2}}
是投影算子。
在命题的假设下,由于
P
1
P
2
=
0
{\displaystyle P_{1}P_{2}=0}
,这就表明
L
1
,
L
2
{\displaystyle L_1, L_2}
正交,于是对任意的
x
∈
H
{\displaystyle x \in H}
我们有
一方面
P
x
=
P
1
x
+
P
2
x
=
x
1
+
x
2
∈
L
1
⊕
L
2
{\displaystyle Px=P_{1}x+P_{2}x=x_{1}+x_{2}\in L_{1}\oplus L_{2}}
,其中
x
1
=
P
1
x
,
x
2
=
P
2
x
{\displaystyle x_{1}=P_{1}x,x_{2}=P_{2}x}
是对应的投影。于是
R
(
P
)
⊂
L
1
⊕
L
2
.
{\displaystyle R(P)\subset L_{1}\oplus L_{2}.}
另一方面对任意的
x
1
∈
L
1
,
x
2
∈
L
2
{\displaystyle x_{1}\in L_{1},x_{2}\in L_{2}}
,
x
1
+
x
2
=
P
1
x
1
+
P
2
x
2
=
P
1
(
x
1
+
x
2
)
+
P
2
(
x
1
+
x
2
)
=
(
P
1
+
P
2
)
(
x
1
+
x
2
)
=
P
(
x
1
+
x
2
)
.
{\displaystyle {\begin{aligned}x_{1}+x_{2}&=P_{1}x_{1}+P_{2}x_{2}\\&=P_{1}(x_{1}+x_{2})+P_{2}(x_{1}+x_{2})\\&=(P_{1}+P_{2})(x_{1}+x_{2})\\&=P(x_{1}+x_{2}).\end{aligned}}}
于是
L
1
⊕
L
2
⊂
R
(
P
)
.
{\displaystyle L_{1}\oplus L_{2}\subset R(P).}
下面这个关于投影算子的刻画是谱理论的单位分解 的基础:
第一条根据定义直接得到。
我们先假设
P
1
P
2
{\displaystyle P_1P_2}
是投影算子,进而是自伴算子,那么
P
1
P
2
=
(
P
1
P
2
)
∗
=
P
2
∗
P
1
∗
=
P
2
P
1
.
{\displaystyle P_{1}P_{2}=(P_{1}P_{2})^{*}=P_{2}^{*}P_{1}^{*}=P_{2}P_{1}.}
其次我们假设
P
1
,
P
2
{\displaystyle P_1, P_2}
可交换,那么
(
P
1
P
2
)
2
=
P
1
P
2
P
1
P
2
=
P
1
2
P
2
2
=
P
1
P
2
{\displaystyle (P_{1}P_{2})^{2}=P_{1}P_{2}P_{1}P_{2}=P_{1}^{2}P_{2}^{2}=P_{1}P_{2}}
即
P
1
P
2
{\displaystyle P_1P_2}
幂等,又因为可交换的自伴算子的乘积也是自伴的,根据#投影定理 我们就得到
P
1
P
2
{\displaystyle P_1P_2}
是投影算子。
在上面这种情况下对任意
x
∈
H
{\displaystyle x \in H}
一方面我们假设其有直和分解
x
=
P
2
x
+
(
x
−
P
2
x
)
{\displaystyle x=P_{2}x+(x-P_{2}x)}
而对
P
2
x
∈
L
2
{\displaystyle P_{2}x\in L_{2}}
而言
P
2
x
=
P
1
P
2
x
−
(
P
2
x
−
P
1
P
2
x
)
{\displaystyle P_{2}x=P_{1}P_{2}x-(P_{2}x-P_{1}P_{2}x)}
,这样
P
1
P
2
x
∈
L
1
∩
L
2
.
{\displaystyle P_{1}P_{2}x\in L_{1}\cap L_{2}.}
即
R
(
P
1
P
2
)
⊂
L
1
∩
L
2
.
{\displaystyle R(P_{1}P_{2})\subset L_{1}\cap L_{2}.}
另一方面对任意
y
∈
L
1
∩
L
2
{\displaystyle y\in L_{1}\cap L_{2}}
,
y
=
P
2
y
=
P
1
P
2
y
∈
R
(
P
1
P
2
)
.
{\displaystyle y=P_{2}y=P_{1}P_{2}y\in R(P_{1}P_{2}).}
即
L
1
∩
L
2
⊂
R
(
P
1
P
2
)
.
{\displaystyle L_{1}\cap L_{2}\subset R(P_{1}P_{2}).}
L
1
⊂
L
2
{\displaystyle L_{1}\subset L_{2}}
当且仅当
P
2
P
1
=
P
1
{\displaystyle P_{2}P_{1}=P_{1}}
,
如果对任意
x
∈
H
{\displaystyle x \in H}
而言
P
2
P
1
x
=
P
1
{\displaystyle P_{2}P_{1}x=P_{1}}
,那么
‖
P
1
x
‖
=
‖
P
2
P
1
x
‖
=
‖
P
1
P
2
x
‖
⩽
‖
P
1
‖
‖
P
2
x
‖
⩽
‖
P
2
x
‖
.
{\displaystyle \|P_{1}x\|=\|P_{2}P_{1}x\|=\|P_{1}P_{2}x\|\leqslant \|P_{1}\|\|P_{2}x\|\leqslant \|P_{2}x\|.}
反过来,如果
‖
P
1
x
‖
⩽
‖
P
2
x
‖
{\displaystyle \|P_{1}x\|\leqslant \|P_{2}x\|}
,那么对任意的
x
∈
L
1
{\displaystyle x\in L_1}
,
‖
x
‖
=
‖
P
1
x
‖
⩽
‖
P
2
x
‖
.
{\displaystyle \|x\|=\|P_{1}x\|\leqslant \|P_{2}x\|.}
可是
‖
P
2
x
‖
⩽
‖
P
2
‖
‖
x
‖
⩽
‖
x
‖
{\displaystyle \|P_{2}x\|\leqslant \|P_{2}\|\|x\|\leqslant \|x\|}
,这就表明
‖
x
‖
=
‖
P
2
x
‖
{\displaystyle \|x\|=\|P_{2}x\|}
对任意
x
∈
L
1
{\displaystyle x\in L_1}
成立,于是
‖
x
−
P
2
x
‖
2
=
‖
x
‖
2
+
‖
P
2
x
‖
2
−
(
x
,
P
2
x
)
−
(
P
2
x
,
x
)
=
‖
x
‖
2
+
‖
P
2
x
‖
2
−
(
x
,
P
2
2
x
)
−
(
P
2
2
x
,
x
)
=
‖
x
‖
2
+
‖
P
2
x
‖
2
−
(
P
2
x
,
P
2
x
)
−
(
P
2
x
,
P
2
x
)
=
‖
x
‖
2
−
‖
P
2
x
‖
2
=
0.
{\displaystyle {\begin{aligned}\|x-P_{2}x\|^{2}&=\|x\|^{2}+\|P_{2}x\|^{2}-(x,P_{2}x)-(P_{2}x,x)\\&=\|x\|^{2}+\|P_{2}x\|^{2}-(x,P_{2}^{2}x)-(P_{2}^{2}x,x)\\&=\|x\|^{2}+\|P_{2}x\|^{2}-(P_{2}x,P_{2}x)-(P_{2}x,P_{2}x)\\&=\|x\|^{2}-\|P_{2}x\|^{2}=0.\end{aligned}}}
即
x
=
P
2
x
{\displaystyle x=P_{2}x}
进而
x
∈
L
2
.
{\displaystyle x\in L_{2}.}
如果
P
2
−
P
1
{\displaystyle P_{2}-P_{1}}
是投影算子,当且仅当
E
−
(
P
2
−
P
1
)
{\displaystyle E-(P_{2}-P_{1})}
也是投影算子,根据上一个命题,
(
E
−
P
2
)
+
P
1
{\displaystyle (E-P_{2})+P_{1}}
是投影算子,当且仅当
(
E
−
P
2
)
P
1
=
0
{\displaystyle (E-P_{2})P_{1}=0}
当且仅当
P
2
P
1
=
P
1
.
{\displaystyle P_{2}P_{1}=P_{1}.}
这个条件暗含了
(
P
2
−
P
1
)
P
1
=
P
2
P
1
−
P
1
=
0
{\displaystyle (P_{2}-P_{1})P_{1}=P_{2}P_{1}-P_{1}=0}
于是继续由上个命题得到
L
1
=
L
2
⊕
L
3
{\displaystyle L_{1}=L_{2}\oplus L_{3}}
,其中
L
3
{\displaystyle L_3}
是
P
2
−
P
1
{\displaystyle P_{2}-P_{1}}
对应的值域空间,即
L
1
{\displaystyle L_1}
在
L
2
{\displaystyle L_2}
中的正交补。
参考资料 L.A. Lusternik, V.J. Sobolev, Elements of Functional Analysis(3rd Ed.) , International monographs on advanced mathematics & physics, John Wiley & Sons Inc, 1975, ISBN 978-0-4705-5650-4
.