中文数学 Wiki
Advertisement

在 Hilbert 空间理论中,投影算子(projection operator)是一类将子空间(作为一个集合概念)算子化的工具。

定义[]

假设Hilbert 空间的一个子空间,那么中有正交补,进而直和分解,即对任意的存在唯一的使得,令,它就被称为是关于的投影算子,它一定是连续的线性算子(见#投影定理)。

投影定理[]

Hilbert 空间上到闭子空间的投影算子满足:
  1. 线性。
  2. 自伴。
关于这个定理/命题的证明,单击这里以显示/折叠

对任意中具有直和分解的元素而言:

  1. 对任意,我们有
    其中于是
  2. 这表的直和分解只能是于是

一般我们称的算子是幂等的,反过来:

上满足的自伴算子是到某个闭子空间的投影算子。
关于这个定理/命题的证明,单击这里以显示/折叠

定义

  1. 首先我们说明闭,为此任取,那么存在满足,由的连续性得到,而这就表明进而
  2. 由于闭,于是,我们来证明对任意的成立,为此我们证明,实际上由自伴性

基本性质[]

我们先给出投影算子的和是投影算子的等价刻画:

上的两个投影算子的和是投影算子当且仅当且此时投影到,其中分别是对应的值域空间。
关于这个定理/命题的证明,单击这里以显示/折叠
  1. “仅当”部分:如果是投影算子,那么
    那么
    进一步
    于是结合#A1就得到
  2. “当”部分:我们有于是
    自伴性由自伴算子的和依然是自伴算子得到,于是是投影算子。
  3. 在命题的假设下,由于,这就表明正交,于是对任意的我们有
    1. 一方面,其中是对应的投影。于是
    2. 另一方面对任意的
      于是

下面这个关于投影算子的刻画是谱理论的单位分解的基础:

假设是 Hilbert 空间上的连续线性算子,是它们对应的值域,那么
  1. ,若,那么
  2. 是投影算子当且仅当可交换,且此时是映入的投影算子,特别地,
  3. 当且仅当,当且仅当是到中的正交补空间上的投影算子。
关于这个定理/命题的证明,单击这里以显示/折叠

  1. 第一条根据定义直接得到。
    1. 我们先假设是投影算子,进而是自伴算子,那么
    2. 其次我们假设可交换,那么幂等,又因为可交换的自伴算子的乘积也是自伴的,根据#投影定理我们就得到是投影算子。
    3. 在上面这种情况下对任意
      1. 一方面我们假设其有直和分解而对而言,这样
      2. 另一方面对任意
  2. 当且仅当
    1. 如果对任意而言,那么
    2. 反过来,如果,那么对任意的
      可是,这就表明对任意成立,于是
      进而
    3. 如果是投影算子,当且仅当也是投影算子,根据上一个命题,是投影算子,当且仅当当且仅当这个条件暗含了于是继续由上个命题得到,其中对应的值域空间,即中的正交补。

参考资料

  1. L.A. Lusternik, V.J. Sobolev, Elements of Functional Analysis(3rd Ed.), International monographs on advanced mathematics & physics, John Wiley & Sons Inc, 1975, ISBN 978-0-4705-5650-4.
Advertisement