投影引理

这个页面介绍泛函分析的关于范数的最佳逼近问题（即距离函数的下确界可达性质，或连续性质）的相关结论，这一系列结论被称为投影引理（projection lemma）。

我们所考虑的问题是：给定 Banach 空间$X$及其中的一个子集$S$，要寻找给定元素$y$到$S$的距离的下确界是否能够被达到，如果可以，我们就可以将$x$投影到$S$上，当然这就还要求唯一性了。

首先这样的$S$必须是闭集，其次我们为了讨论的方便还假设$S$是凸集，对于不凸的集合唯一性很难被保证（例如$X$的开单位球面的外部$M$，原点到这个闭集的距离被单位球面上的所有点达到）。

自反空间

假设$X$是自反空间，$C$是$X$的闭凸子集，对任意$x \in X$，存在$y_0 \in M$使得$\|x-y_{0}\|=\inf _{y\in M}\|x-y\|.$

关于这个定理/命题的证明，单击这里以显示/折叠

为了考虑方便，我们经过一个平移假设$x = 0.$

令$d=\inf _{y\in M}\|y\|.$根据下确界的定义，存在一列$\{ y_n \}_{n=1}^\infty$满足： $$d\leqslant \|y_{n}\|<d+{\dfrac {1}{n}}\leqslant d+1.$$ 于是$\{ y_n \}$是$X$中的有界序列，进而存在弱收敛的子列，不妨仍记作$\{ y_n \}$，假设它的弱极限是$y_0 \in M$（由 Mazur 定理可知闭凸蕴含弱闭凸），根据 Hahn-Banach 定理可知存在$f \in X^*$使得

1. $\|f\|=1.$
2. $f(y_{0})=\|y_{0}\|.$

于是

1. $y_0 \in M$蕴含$\|y_{0}\|\geqslant d.$
2. $\|y_{0}\|=f(y_{0})\leqslant \liminf _{n\to \infty }f(y_{n})\leqslant \liminf _{n\to \infty }\|f\|\|y_{n}\|=d.$

这就表明$\|y_{0}\|=d.$

一致凸空间

在自反空间中，虽然范数的最佳逼近可达，但是解未必唯一，要得到唯一性，需要对空间添加凸性的要求，例如一致凸性。

假设$C$是一致凸 Banach 空间$X$中的闭凸子集，那么对任意的$x \in X$存在唯一的$P_{C}x\in C$使得$$\|x-P_{C}x\|=\inf _{y\in C}\|x-y\|.$$

且对任意的$y\in C,y\neq P_{C}x$都有$\|x-P_{C}x\|<\|x-y\|.$

我们称$P_C$是$X$在$C$上的投影，进一步这个投影映射$P_{C}:X\to C$还是连续的，且在任意有界集上一致连续。

关于这个定理/命题的证明，单击这里以显示/折叠

存在唯一性部分的证明由$X$是自反空间（存在性）以及严格凸空间（唯一性）保证。下面我们直接来证明给定正常数$M$，$P_C$在$B_{X}(0,M)=\{x\in X:\|x\|\leqslant M\}$上一致连续。用反证法，假设存在$\varepsilon_0 > 0$使得对任意的$n \in \mathbb{N}^+$存在$x_{n},y_{n}\in B_{X}(0,M)$使得$\|x_{n}-y_{n}\|<{\dfrac {1}{n}}$以及$\|P_{C}x_{n}-P_{C}y_{n}\|>\varepsilon _{0}.$

1. 一方面，由于$P_{C}x_{n}$是$x$在$C$中距离最近者，而${\dfrac {1}{2}}P_{C}x_{n}+{\dfrac {1}{2}}P_{C}y_{n}\in C$，我们可以得到$${\begin{aligned}\|x_{n}-P_{C}x_{n}\|&\leqslant \left\|x_{n}-{\dfrac {P_{C}x_{n}+P_{C}y_{n}}{2}}\right\|\\&\leqslant \left\|{\dfrac {x_{n}+y_{n}}{2}}-{\dfrac {P_{C}x_{n}+P_{C}y_{n}}{2}}\right\|+\left\|{\dfrac {x_{n}-y_{n}}{2}}\right\|.\end{aligned}}$$同理得到$${\begin{aligned}&\quad ~\|y_{n}-P_{C}y_{n}\|\\&\leqslant \left\|{\dfrac {x_{n}+y_{n}}{2}}-{\dfrac {P_{C}x_{n}+P_{C}y_{n}}{2}}\right\|\\&+\left\|{\dfrac {x_{n}-y_{n}}{2}}\right\|.\end{aligned}}$$上面两式平方相加除以二，就得到$${\begin{aligned}&\quad ~{\dfrac {1}{2}}\|x_{n}-P_{C}x_{n}\|^{2}+{\dfrac {1}{2}}\|y_{n}-P_{C}y_{n}\|^{2}\\&\leqslant \left\|{\dfrac {x_{n}+y_{n}}{2}}-{\dfrac {P_{C}x_{n}+P_{C}y_{n}}{2}}\right\|^{2}\\&+\left\|{\dfrac {x_{n}-y_{n}}{2}}\right\|^{2}+2M'\left\|{\dfrac {x_{n}-y_{n}}{2}}\right\|.\end{aligned}}$$其中对任意的$n \in \mathbb{N}^+$都有$${\begin{aligned}\|x_{n}-P_{C}x_{n}\|&\leqslant \|x_{n}-P_{C}x_{1}\|\\&\leqslant \|x_{n}-x_{1}\|+\|x_{1}-P_{C}x_{1}\|\\&\leqslant 2M+\|x_{1}-P_{C}x_{1}\|=:M'.\end{aligned}}$$
2. 另一方面，由这个定理，存在$\delta > 0$使得对$x_{n}-P_{C}x_{n}$和$y_{n}-P_{C}y_{n}$使用，得到$${\begin{aligned}&\quad ~\left\|{\dfrac {x_{n}+y_{n}}{2}}-{\dfrac {P_{C}x_{n}+P_{C}y_{n}}{2}}\right\|^{2}\\&\leqslant {\dfrac {1}{2}}\|x_{n}-P_{C}x_{n}\|^{2}+{\dfrac {1}{2}}\|y_{n}-P_{C}y_{n}\|^{2}-\delta .\end{aligned}}$$

于是对式#E1取极限，就和#E2矛盾了。

参考资料

1. Haïm Brezis, Functional Analysis, Sobolev Spaces and Partial Differential Equations, Springer Science&Business Media, 2010-11, ISBN 978-0-3877-0913-0.