在模论中,投射模(projective module)是自由模的推广,它具有自由模的一些泛性质,在利用范畴论的观点研究模时发挥着重要的作用,内射模是它的对偶概念。
定义[]
假设
是一个环(可以没有乘法单位元),一个左 R-模
被称为是投射模,是指对任意 R-模正合列
以及R-模同态
都存在一个 R-模同态
使得
即下列交换图可换:
这里定义的
一定是满同态,因此正合列的条件就是说对任意 R-模满同态
注意按照定义,我们得不出投射模的存在性(后面将会指出,自由模是投射模),也得不出它的唯一性。
等价刻画[]
- 1推2:考察交换图由
的投射性质得到
,根据模的正合列#分裂的等价刻画得到结论。
- 2推3:我们知道,任意一个模都是自由模的商模,因此可取取
是
为商模的自由模,令
是自然满同态,再取
,
是子模嵌入,那么
是分裂的,于是
- 3推1:取任意正合列
以及R-模同态
,由模的直和的性质,存在自然满同态
以及单同态
,于是我们有由于自由模
是投射模,故存在
使得
定义
,我们可以验证
这就证明了
是投射模。
其它性质[]
下面假设
是一个环(可以没有乘法单位元),
是左 R-模(也可以没有单位作用),
上的自由模
是投射模(注意存在不是自由模的投射模,例如取
,
是
模同时
于是
是投射模,但它们显然不是自由的)。
- 每一个左 R-模是一个投射模的商模,这个事实对自由模是成立的,当然也可以根据自由模的这一性质证明这个结果(注意到第一条性质即可)。
- 模的直和
是投射模当且仅当每个
是投射模。
参考资料
- Thomas W. Hungerford, Algebra, GTM Vol.73, Springer, New York, 1974, ISBN
978-0-3879-0518-1
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