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在模论中,投射模(projective module)是自由模的推广,它具有自由模的一些泛性质,在利用范畴论的观点研究模时发挥着重要的作用,内射模是它的对偶概念。

定义[]

假设是一个(可以没有乘法单位元),一个左 R-被称为是投射模,是指对任意 R-模正合列以及R-模同态都存在一个 R-模同态使得即下列交换图可换:

The diagram of projective module

这里定义的一定是满同态,因此正合列的条件就是说对任意 R-模满同态

注意按照定义,我们得不出投射模的存在性(后面将会指出,自由模是投射模),也得不出它的唯一性。

等价刻画[]

假设是一个(可以没有乘法单位元),是左 R-模(也可以没有单位作用),那么下面的叙述等价:
  1. 是投射模。
  2. 任意短正合列是分裂的,即
  3. 存在一个自由模以及左 R-模使得
关于这个定理/命题的证明,单击这里以显示/折叠
  • 1推2:考察交换图
    The diagram of projective module used in equivalence proof-1
    的投射性质得到,根据模的正合列#分裂的等价刻画得到结论。
  1. 2推3:我们知道,任意一个模都是自由模的商模,因此可取取为商模的自由模,令是自然满同态,再取是子模嵌入,那么
    是分裂的,于是
  • 3推1:取任意正合列以及R-模同态,由模的直和的性质,存在自然满同态以及单同态,于是我们有
    The diagram of projective module used in equivalence proof-2
    由于自由模是投射模,故存在使得
    定义,我们可以验证这就证明了是投射模。

其它性质[]

下面假设是一个环(可以没有乘法单位元),是左 R-模(也可以没有单位作用),

  1. 上的自由模是投射模(注意存在不是自由模的投射模,例如取模同时于是是投射模,但它们显然不是自由的)。
  2. 每一个左 R-模是一个投射模的商模,这个事实对自由模是成立的,当然也可以根据自由模的这一性质证明这个结果(注意到第一条性质即可)。
  3. 模的直和是投射模当且仅当每个是投射模。

参考资料

  1. Thomas W. Hungerford, Algebra, GTM Vol.73, Springer, New York, 1974, ISBN 978-0-3879-0518-1.
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