扭模

在模論中，扭模（tension module）是一類特殊的模。

概念

設有一 R-模$M$，$m \in M$，我們稱如下集合

$$\text{Ann}_R (m) := \{ r \in R: rm = 0 \}$$

為$m$的零化子（annihilator），當該集合不為空集時它顯然是$R$的理想，此時稱$m$是一個扭元（torsion element）。

當$R$是整環時，它的所有扭元的集合$T(M)$是$M$的一個子模，稱為$M$的扭子模（torsion submodule），當$M = T(M)$時稱$M$為扭模。

性質

1. 如果$\text{Ann}_R (x)$是$R$的一個極大理想，那麼$M$就是單模。
2. 假設有 R-模同態$f:M \to N$，那麼$f(T(M)) \subset T(N)$，特別地，如果限制$f$在$T(M)$上記作$f|_T$，那麼它是$T(M) \to T(N)$的 R-模同態。
3. 假設有模的正合列
   $$0 \rightarrow K \overset{f}{\rightarrow} M \overset{g}{\rightarrow} N$$
   那麼
   $$0 \rightarrow T(K) \overset{f_T}{\rightarrow} T(M) \overset{g_T}{\rightarrow} T(N)$$
   也是正合的。