扭模

在模论中，扭模（tension module）是一类特殊的模。

概念

设有一 R-模$M$，$m \in M$，我们称如下集合

$$\text{Ann}_R (m) := \{ r \in R: rm = 0 \}$$

为$m$的零化子（annihilator），当该集合不为空集时它显然是$R$的理想，此时称$m$是一个扭元（torsion element）。

当$R$是整环时，它的所有扭元的集合$T(M)$是$M$的一个子模，称为$M$的扭子模（torsion submodule），当$M = T(M)$时称$M$为扭模。

性质

1. 如果$\text{Ann}_R (x)$是$R$的一个极大理想，那么$M$就是单模。
2. 假设有 R-模同态$f:M \to N$，那么$f(T(M)) \subset T(N)$，特别地，如果限制$f$在$T(M)$上记作$f|_T$，那么它是$T(M) \to T(N)$的 R-模同态。
3. 假设有模的正合列
   $$0 \rightarrow K \overset{f}{\rightarrow} M \overset{g}{\rightarrow} N$$
   那么
   $$0 \rightarrow T(K) \overset{f_T}{\rightarrow} T(M) \overset{g_T}{\rightarrow} T(N)$$
   也是正合的。