态射

态射（morphism）是范畴中的一个基本概念，它是集合上的映射的推广。有关态射在范畴上的定义参见范畴，这里主要介绍态射的性质。

同构

在范畴$\mathsf{C}$中，设$A, B \in \operatorname{Obj} \mathsf{C}, f: A \to B$，若存在$g:B \to A$使得下式成立 $$g \circ f = 1_A, \quad f \circ g = 1_B.$$ 我们就称$f$是一个同构（isomorphism）。

可以证明，上述的$g$是唯一存在的，我们将其称作$f$的逆态射，记作$f^{-1}.$

关于逆态射，成立：

1. 设$f:A \to B$，则$(f^{-1})^{-1} = f;$
2. 设$f: A \to B, g: B \to C$，则$(g \circ f)^{-1} = f^{-1} \circ g^{-1}.$

范畴$\mathsf{C}$中，$A \in \operatorname{Obj} \mathsf{C}$，那么满足$f:A \to A$的所有同构组成的全体，连同态射间的复合运算，构成一群，称为一个自同构群，记作$\operatorname{Aut}_\mathsf{C} (A)$，它是$\operatorname{End}_\mathsf{C} (A)$的一个子集。

单态射和满态射

在范畴$\mathsf{C}$中，设$A, B, C \in \operatorname{Obj} \mathsf{C}, f: A \to B$，若$\forall g, h: C \to A$使得 $$f \circ g = f \circ h \Longrightarrow g = h.$$ 我们就称$f$是左可约的，并称$f$是单态射（monomorphism）。

在范畴$\mathsf{C}$中，设$A, B, C \in \operatorname{Obj} \mathsf{C}, f: A \to B$，若$\forall g, h: B \to C$使得 $$g \circ f = h \circ f \Longrightarrow g = h.$$ 我们就称$f$是右可约的，并称$f$是满态射（epimorphism）。

既是单态射又是满态射的态射，称为双态射（bimorphism）。

例如群范畴中，单态射就是单同态，满态射就是满同态，环范畴中单态射是单同态但满态射不一定是满同态。

性质

在范畴$\mathsf{C}$中，设$A, B, C \in \operatorname{Obj} \mathsf{C}, f: A \to B, g: B \to C$，则

1. 若$g \circ f$是单态射，则$f$是单态射；
2. 若$f, g$都是单态射，则$g \circ f$是单态射；
3. 若$g \circ f$是满态射，则$g$是满态射；
4. 若$f, g$都是满态射，则$g \circ f$是满态射。

• 设$f:A \to B$，若$f$存在左逆，即$\exists g: B \to A$，使得$g \circ f = 1_A$，则$f$是一个单态射。
• 设$f:A \to B$，若$f$存在右逆，即$\exists g: B \to A$，使得$f \circ g = 1_B$，则$f$是一个满态射。

态射$f:A \to B$是一个同构，当且仅当$f$是单态射且$f$存在右逆，或当且仅当$f$是满态射且$f$存在左逆。

平稳范畴

设$f$是范畴$\mathsf{C}$中的一个态射，若$f$是一个同构，则它一定是一个双态射。但反之不真。如果每一个双态射都是同构，我们就称这样的范畴是一个平稳范畴（balanced category）。

集合范畴$\mathsf{Set}$，群范畴$\mathsf{Grp}$和R-模范畴都是平稳范畴，但是环范畴$\mathsf{Rng}$和拓扑空间范畴$\mathsf{Top}$不是平稳范畴。

严格单态射

对于范畴$\mathsf{C}$上的单态射$f:A \to B$如果存在一满态射$g: A \to C$，以及态射$h: C \to B$，当条件$f = h \circ g$成立时可推出$g$是一个同构时，就称$f$是一个严格单态射（extremal monomorphism）。

一个态射是一个同构当且仅当它是满态射且是严格单态射；平稳范畴等价于其上的任意一个单态射都是严格的单态射。