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微積分基本定理,又稱 Newton-Leibniz(牛頓-萊布尼兹)公式,是一個看似簡單但事實上對數學分析發展影響深遠的定理,它連結了微分積分這兩個本看似不相干的事物。

基本形式[]

(強 Newton-Leibniz 公式):設函數在有限區間上 Riemann 可積,且上具有連續原函數,且,則有下式成立

實際上,上述對原函數的要求可以適當減弱(但其它條件是必須的),得到下述定理
(弱 Newton-Leibniz 公式):設函數上可積,且上具有連續原函數至多在上的有限個點外處處可微,并且在可微的點處導函數等於,則有下式成立

這實際上告訴我們,計算定積分可以轉化爲計算對應的不定積分。我們知道上述公式在區間的任意子區間上成立并不能得出由條件確定的原函數所具有的性質,説明原函數給的條件還是多餘的,那麽對原函數的條件減弱到何種程度可以使公式的成立成爲充要條件?這需要對積分重新定義——若采用 Lebesgue 積分,那麽在任意子區間上成立上述公式當且僅當絕對連續函數

如果進一步用一般的測度符號測度去代替 Lebesgue 測度以及 Lebesgue 積分,這就是 Radon-Nikodym 定理

換元積分和分佈積分公式[]

有了 Newton-Leibniz 公式后,不定積分中的換元積分公式分佈積分公式都可以推廣到定積分中了,有

(換元積分公式):設定義在有限區間上的嚴格單調連續函數滿足,其中是有限數,設在區間上可微,且導函數沒有零點,設,則下式在左右兩側有一者有意義的前提下成立

(分部積分公式):設函數在有限區間上連續可微,下述等式在左右兩側有一者存在時成立

其中,

反常積分的推廣[]

微積分基本定理可以在一定程度上推廣到反常積分中去,并得到相應的換元積分公式和分佈積分公式。

(反常積分的 Newton-Leibniz 公式):設函數上廣義可積(這是指,函數在該區間上有有限個瑕點,對應的瑕積分收斂,或者區間是無窮的,對應的無窮限積分收斂),且上具有連續原函數至多在上的有限個點外處處可微,并且在可微的點處導函數等於,下式在右側兩個極限存在的前提下成立

(反常積分的換元積分公式):設定義在有限或無窮區間上的嚴格單調連續函數滿足,其中可以是正(負)無窮,但它們不能同號,設在除區間上的有限個點外都可微,且導函數在除去這些點之外的小區間上都連續且最多只有有限個零點,設,則下式在左右兩側有一者有意義的前提下成立

上述定理中對是嚴格單調的條件可以去掉,這時要求的值域上是廣義可積的。

(反常積分的分部積分公式):設函數在開區間上連續,且在除去有限個點的小區間上可微,設極限都存在,下述等式在左右兩側有一者存在時成立

其中,

上述換元積分公式和分佈積分公式都是相應的 Riemann 積分的弱化版本。

一階微分形式[]

在有限維 Euclid 空間中,也有類似於 Newton-Leibniz 公式的定理存在,這些都是使用區域邊界的情況來把握區域内部積分的情況。

例如,二維平面上,一定情況下一個區域内的二重積分可以使用邊界的第一型曲綫積分來描述,參見 Green 公式。在三維空間上,一定情況下一個第二型曲面積分可以使用邊界的第一型曲綫積分表示,參見 Stokes 公式

参考资料

  1. 欧阳光中, 朱学炎, 金福临, 陈传璋, 《数学分析》, 高等教育出版社, 北京, 2018-08, ISBN 978-7-0404-9718-2.
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