微分

微分是數學分析中的一個重要概念，在一元實函數領域發揮着重要的作用，它的本質是以直代曲，或者說，藉助高階無窮小近似一個函數的線性主部，也就是局部線性化。

對於多元函數的情形，微分有相應的推廣，即全微分；對於向量值函數的情形，全微分也可以推廣為導映射，詳見向量值函數的微分。

定義

在函數$f(x)$的定義域中，設自變量$x$有一個改變量$\Delta x$，此時因變量也對應了一個改變量 $$\Delta y = f(x + \Delta x) - f(x)$$ 在$\Delta x \to 0$時如果上式可以寫作下式 $$\Delta y = A \Delta x + o(\Delta x)$$ 其中，$A$是僅和$x$有關的常數，我們就稱$f(x)$在$x$一點是可微的。

同時，我們記$\mathrm{d} y = A \Delta x$，它便稱作$f(x)$在$x$點的微分。

與導數的關係

可以證明，一元實函數可導與可微是等價的，且有$\mathrm{d} y = f'(x) \mathrm{d} x$，其中$\mathrm{d} x = \Delta x~(\Delta x \to 0)$，需要注意的是，微分$\mathrm{d} y$是$x$以及$\mathrm{d} x$的函數，它不僅僅與$x$有關。

在明確一元實函數導數及微分的關係之後，我們可以藉助導數的知識來解決微分問題，例如 $\mathrm{d} (x^2) = 2x \mathrm{d} x$ 此外，導數的表示$f'(x) = \dfrac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}$不再僅僅是形式記號，它可以是由微分進行簡單的運算得到的一種新的等價表示方法。

一階微分的形式不變性

對於一階微分來說，有一個重要的特性——形式不變性，它在一元實函數的相關問題中佔有很重要的一席之地。

設有複合函數$y = f(u), u = g(x)$，由複合函數求導法則，有 $$\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = f'(g(x)) \cdot g'(x).$$ 進一步，由微分與導數的關係，有 $$\mathrm{d}y = f'(g(x)) g'(x) \mathrm{d}x = f'(g(x)) \mathrm{d} g(x) = f'(u) \mathrm{d}u.$$ 這就是一階微分的形式不變性，但要注意通常高階微分不具有形式不變性。

高階微分

像高階導數那樣，我們也可以定義函數$f(x)$高階微分，用遞歸的方法，先定義二階微分 $$\mathrm{d}^2 y = \mathrm{d}(\mathrm{d}y) = \mathrm{d} (y'\mathrm{d}x) = y''\mathrm{d}x^2.$$ 上式中$(\mathrm{d}x)^2$在不引起混淆的情況下也記作$\mathrm{d} x^2.$

$f(x)$的$n$階微分定義為 $$\mathrm{d}^n y = \mathrm{d}(\mathrm{d}^{n-1} y) = y^{(n)}\mathrm{d}x^n.$$

有限增量公式

在很多問題中，使用有限增量公式會使問題變得簡單，設函數$f(x)$在點$x_0$可微，那麼在該點的某鄰域中有限增量公式的基本形式為 $$\Delta y = f'(x_0) \Delta x + \omega(x) \Delta x.$$ 其中$\lim_{\Delta x \to 0} \omega(x) = \omega(x_0) = 0.$ 其優點是該等式易於控制，微分中的小o記號不便於進行運算。

它還可以寫為 $$f(x) = f(x_0) + f'(x_0) (x - x_0) + \omega(x) (x - x_0).$$ 其中$\lim_{x \to x_0} \omega(x) = \omega(x_0) = 0.$

上下節

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參考資料

1. 歐陽光中, 朱學炎, 金福臨, 陳傳璋, 《數學分析》, 高等教育出版社, 北京, 2018-08, ISBN 978-7-0404-9718-2.