微分流形

微分流形（differentiable manifold）是三维空间曲面曲线的有限维推广，拓扑流形上赋予微分性质的一个概念。

定义

假设$M \subset \R^m$，如果存在整数$k, 0 < k \leqslant m$满足对任意的$x_0 \in M$均存在$x_0$的一个开邻域$U(x_0) \subset \R^m$，存在开集$D \in \R^k$以及映射$\varphi: D \to \R^m$使得

1. $\varphi$是单射，$\varphi(D) = M \cap U.$
2. $\varphi$是$D$上的可微映射。
3. $\varphi$的 Jacobi 矩阵$J(\varphi)$在$y \in D$的秩都是$k.$
4. $\varphi^{-1}: M \cap U \to \R^k$是连续映射。

我们就称$M$是$k$维微分流形。$(\varphi, D)$称为$M$在$x_0$的一个局部坐标系，或局部参数表示。$M \cap U$称为$M$在$x_0$的一个坐标块或坐标邻域。$\forall x \in U(x_0)$，我们称$\varphi(x)$为$x_0$的局部坐标系下的一个坐标。

Cp 流形

如果将上述定义的第2条加强为

• 对整数$p \leqslant 1$或$p = +\infty$，$\varphi$是$D$上的$p$阶连续可微映射。

那么称$M$为$C^p$微分流形，简称$C^p$流形。

参数变换

假设$0 < k \leqslant m$，$M \subset \R^m$是$k$维微分流形，$(\varphi, D), (\psi, E)$是两个局部坐标系，并设$\varphi(D) \cap \psi(E) \ne \varnothing$，那么存在两个映射 $$\begin{align} \psi^{-1} \circ \varphi & = \varphi^{-1}(\varphi(D) \cap \psi(E)) \to \psi^{-1}(\varphi(D) \cap \psi(E)), \\ \varphi^{-1} \circ \psi & = \psi^{-1}(\varphi(D) \cap \psi(E)) \to \varphi^{-1}(\varphi(D) \cap \psi(E)). \end{align}$$ 它们是$\mathbb{R}^k$上的两个开集$D_1 = \varphi^{-1}(\varphi(D) \cap \psi(E)), D_2 = \psi^{-1}(\varphi(D) \cap \psi(E))$之间的互逆映射，我们就称它们是$M$上两个局部坐标系$(\varphi, D), (\psi, E)$之间的参数变换。

可以证明，上述坐标变换是互逆的微分同胚，且当$M$是$C^p$流形时上述同胚还是$C^p$的。

坐标图册

假设$0 < k \leqslant m$，$M \subset \R^m$是$k$维微分流形，且设$\{ (\varphi_\lambda, D_\lambda): \lambda \in \varLambda \}$是一族局部坐标系，其中$\varLambda$是指标集，如果有如下覆盖成立 $$M \subset \bigcup_{\lambda \in \varLambda} \varphi_\lambda (D_\lambda)$$ 我们就说$\{ (\varphi_\lambda, D_\lambda): \lambda \in \varLambda \}$是$M$的一个坐标图册，或者坐标图册。每一点$x_0 \in M$都至少在一个坐标图册的内部。引进这样的概念是为了用局部的坐标系去描述整体，但依然我们知道微分流形的性质大多是局部性的，要推广到更大的区域上去就需要考虑这样的坐标图册，且坐标图册越少越好，特别地，如果坐标图册是有限的，那就类似于有限覆盖定理所指出的性质那样：紧流形的概念由此产生。

如果上述定义的坐标图册可以通过有限坐标图册代替，即存在正整数$n$使得$\{ (\varphi_k, D_k) \}_{k=1}^n$是$M$的有限坐标图册，我们就说$M$是紧致的，这等价于它是$\R^m$中的有界闭集。

定向

实际上，要在流形上考虑相关问题避不开的一个性质就是可定向性，一个整体不可定向的流形（例如 Möbius 带）的性质很差，特别是积分。

给流形$M$一个坐标图册，如果它的所有坐标变换的 Jacobi 矩阵的行列式都是大于零的，我们就说这个流形是可定向的。一般的微分流形都是局部可定向的参数流形（微分流形的每个坐标块都是参数流形），但是整体上可能不是。

带边流形

从参数流形推广到一般的微分流形，一个本质上的问题就是我们将局部化的观念推而广之，但是我们无法用局部的开集合去描述流形的“边界”，因此为了使得微分流形有更好的性质，我们还需要对这个“边界”做一些定义和说明。

假设$M \subset \R^m$，如果存在整数$k, 0 < k \leqslant m$，对任意的$x_0 \in M$，要么它满足上述微分流形中定义的条件（此时称$x_0$为$M$的内点），要么它满足下列条件：存在$x_0$的一个开邻域$U(x_0) \subset \R^m$，存在开集$D \in \R^k$以及映射$\varphi: D \to \R^m$使得

1. $\varphi$是单射，$\varphi(D \cap \R^k_+) = M \cap U.$其中$$\R^k_+ = \{ (x_1, x_2, \cdots, x_{k-1}, x_k) \in \R^k: x_k \geqslant 0 \}$$是上半平面。且$\varphi^{-1}(x_0) \in D \cap \R^k_+.$
2. $\varphi$是$D$上的可微映射。
3. $\varphi$的 Jacobi 矩阵$J(\varphi)$在$y \in D$的秩都是$k.$
4. $\varphi^{-1}: M \cap U \to \R^k_+$是连续映射。

我们就说$M$是带边的$k$维微分流形，所有内点组成$M$的内域，记作$M^\circ$，$\partial M := M - M^\circ$称为$M$的边缘，边缘中的点称为边缘点。

注意这里定义的内域和边缘的概念，和一般拓扑集合上的内部以及边界的概念略有不同，尽管使用了相似（或相同）的记号。

在最开始定义的不带边流形满足$\partial M = \varnothing.$

如果$M$是一个$k$维带边（定向）流形，那么它的边缘是$k - 1$维（定向）流形。此外带边流形的边缘的定向可以由该流形本身诱导得到，这个流形的维数$k$有关。

积分

假设$0 < k < m$，我们要定义$\omega \in \varLambda^k(U)$上的积分需要使用微分流形的概念。

假设$U \subset \R^m$是开集，$M$是$U$中的一个可定向的紧致$k$维微分流形，其中$0 < k < m$，假设$\{ (\varphi_i, D_i) \}_{i=1}^n$是$M$的一个与其定向一致的坐标图册，$\mathcal{O} = \{ U_i \}_{i=1}^n$是$M$的对应此坐标卡的开覆盖，满足：

1. $U_i \subset U, i = 1,2,\cdots,n.$
2. 当$U_i \cap M$不含边界点的坐标块时成立$\varphi_i(D_i) \subset U_i \cap M.$
3. 当$U_i \cap M$包含边界点的坐标块时成立$\varphi_i(D_i \cap \R_+^k) \subset U_i \cap M.$

令$\{ \psi_i \}_{i=1}^n$是$M$上对应于开覆盖$\mathcal{O}$的单位分解。定义$\omega \in \varLambda^k(U)$的积分为 $$\int_M \omega := \sum_{i=1}^n \int_{M \cap U_i} \psi_i \omega.$$ 右侧和式中的每个积分都是基于参数流形的积分给出的。