微分形式的积分

我们研究微分形式的主要兴趣在于表示积分问题，这个页面主要把微分形式应用于各种积分问题中。我们首先要定义出微分形式的积分，在讨论它和一般积分的关系，然后做出推广。

重积分

假设$U \subset \R^m$是开集，它的闭包$\overline{U}$是具有连续边界的有界区域，设$f$是定义在$\overline{U}$上的可积函数，则对以$f$为系数的微分形式 $$\omega = f(x) \mathrm{d}x_1 \land \mathrm{d}x_2 \land \cdots \land \mathrm{d}x_m \in \varLambda^m(U)$$ 定义它的积分为 $$\int_U \omega := \int_\overline{U} f\mathrm{d}x.$$ 这种积分对应于一般的重积分，我们指出它的换元积分公式： 假设$U, V \in \R^m$是开集，它们闭包的边界连续且闭包是有界区域，假设$F: U \to V$是可逆双射，且连续可微，且它的 Jacobi 矩阵为$J(F)$，那么对任意$\omega \in \varLambda^m(V)$成立 $$\int _{V}\omega =\operatorname {sgn} \det J(F)\int _{U}F^{*}(\omega ).$$

参数流形的积分

假设$U \subset \R^m$是开集，$0 < k < m$，$S \subset U$是由参数方程确定的有向$k$维微分流形，假设$D \subset \R^k$是具有连续边界的有界闭区域，$F: D \to U$是一个$S$的一个与其定向一致的参数表示，则我们可以定义具有可积系数的$\omega \in \varLambda^k(U)$在$S$上的积分是 $$\int_S \omega := \int_D F^*(\omega).$$ 这个积分值不依赖于流形$S$的参数表示。

一般微分流形上的积分

假设$0 < k < m$，我们要定义$\omega \in \varLambda^k(U)$上的积分需要使用微分流形的概念。

假设$U \subset \R^m$是开集，$M$是$U$中的一个可定向的紧致$k$维微分流形，其中$0 < k < m$，假设$\{ (\varphi_i, D_i) \}_{i=1}^n$是$M$的一个与其定向一致的坐标图册，$\mathcal{O} = \{ U_i \}_{i=1}^n$是$M$的对应此坐标卡的开覆盖，满足：

1. $U_i \subset U, i = 1,2,\cdots,n.$
2. 当$U_i \cap M$不含边界点的坐标块时成立$\varphi_i(D_i) \subset U_i \cap M.$
3. 当$U_i \cap M$包含边界点的坐标块时成立$\varphi_i(D_i \cap \R_+^k) \subset U_i \cap M.$

令$\{ \psi_i \}_{i=1}^n$是$M$上对应于开覆盖$\mathcal{O}$的单位分解。定义$\omega \in \varLambda^k(U)$的积分为 $$\int_M \omega := \sum_{i=1}^n \int_{M \cap U_i} \psi_i \omega.$$ 右侧和式中的每个积分都是基于参数流形的积分给出的。

Stokes 公式

一般的 Stokes 公式是： 假设$U \subset \R^m$是开集，$0 < k \leqslant m$，$M \subset U$是一个带边紧致$k$维可定向微分流形，则对任意连续可微的微分形式$\omega \in \varLambda^{k-1}(U)$都有 $$\int_M \omega = \int_{\partial M} \mathrm{d}\omega.$$ 利用它可以导出 Green 公式、Gauss 公式和三维情形的 Stokes 公式及其它更多公式。