微分形式

在外积的概念上可以定义微分形式和外微分等概念，这些概念在处理高维重积分和微分流形上的积分时有重要作用。

概念

假设$U$是$\R^m$中的开集，设整数$k$满足$0 \leqslant k \leqslant m$，我们称映射$\omega: U \to M_m^k$为$U$上的$k$次微分形式，记作$\varLambda^k(U)$。其中$M_m^k$是$\R^m$上的全体反对称的$k$线性函数组成的线性空间。

0形式就是$U$上的实值函数，而1形式又称 Pfaff 形式。

显然对任意的$\omega \in \varLambda^k(U)$，存在定义在$U$上的一系列函数$a_{i_1 i_2 \cdots i_k}(x)$成立 $$\omega = \sum_{1 \leqslant i_1 < i_2 < \cdots < i_k \leqslant m} a_{i_1 i_2 \cdots i_k} \gamma_{i_1} \land \gamma_{i_2} \land \cdots \land \gamma_{i_k}.$$ 今后我们也用记号$\mathrm{d}x_j$来代表$\gamma_{i_j}, j = 1,2,\cdots,m.$这样做的原因一方面是和积分微分符号统一，另一方面也是考虑到$0$形式的外微分的运算得到的$1$形式蕴含了这一记法。因此重写线性表示关系，得到 $$\omega =\sum _{1\leqslant i_{1}<i_{2}<\cdots <i_{k}\leqslant m}a_{i_{1}i_{2}\cdots i_{k}}\mathrm {d} x_{i_{1}}\land \mathrm {d} x_{i_{2}}\land \cdots \land \mathrm {d} x_{i_{k}}.$$

外积

一个$k$形式$\omega \in \varLambda^k(U)$和0形式$f \in \varLambda^0(U)$的乘积定义为$U$上的如下$k$形式 $$\begin{align} f \omega: U & \to M_m^k, \\ x & \mapsto f(x) \omega(x). \end{align}$$ 如果$\omega$有#A1的表达式，那么 $$f \omega = \sum_{1 \leqslant i_1 < i_2 < \cdots < i_k \leqslant m} f a_{i_1 i_2 \cdots i_k} \mathrm{d}x_{i_1} \land \mathrm{d}x_{i_2} \land \cdots \land \mathrm{d}x_{i_k}.$$ 如果乘积的某一个不是零形式，则需要定义外积：假设$\omega \in \varLambda^k(U), \mu \in \varLambda^l(U), kl \ne 0$，那么定义它们的外积为如下确定的$\omega \land \mu \in \varLambda^{k+l}(U):$ $$\begin{align} \omega \land \mu: U & \to M_m^{k+l}, \\ x & \mapsto \omega(x) \land \mu(x). \end{align}$$ 当$kl=0$时就规定外积为乘积：$f \land \omega = f \omega.$

运算性质

外积运算满足如下性质：

1. 结合律：$\forall \omega \in \varLambda^k(U), \mu \in \varLambda^l(U), \nu \in \varLambda^p(U), (\omega \land \mu) \land \nu = \omega \land (\mu \land \nu).$
2. 广义交换律：$\forall \omega \in \varLambda^k(U), \mu \in \varLambda^l(U), \omega \land \mu = (-1)^{kl} \mu \land \omega.$
3. 线性性：$\forall \omega \in \varLambda^k(U), \mu_1, \mu_2 \in \varLambda^l(U), \forall a, b \in \R, \omega \land (a \mu_1 + b \mu_2) = a \omega \land \mu_1 + b \omega \land \mu_2.$

外微分

开集$U \in \R^m$上的微分形式的外微分定义为：

1. $f \in C^1(U)$当作0形式时它的外微分$\mathrm{d}f$为如下的1形式$$\mathrm{d}f = \sum_{j=1^m} \dfrac{\partial f}{\partial x_k} \mathrm{d}x_k.$$这就是全微分。
2. 假设$\omega \in \varLambda^k(U), k > 1$，如果有表达式#A1且$a_{i_1 i_2 \cdots i_k} \in C^1(U)$，则定义$\omega$的外微分$$\begin{align} \mathrm{d}\omega & = \sum_{1 \leqslant i_1 < i_2 < \cdots < i_k \leqslant m} \mathrm{d}a_{i_1 i_2 \cdots i_k} \land \mathrm{d}x_{i_1} \land \mathrm{d}x_{i_2} \land \cdots \land \mathrm{d}x_{i_k}, \\ & = \sum_{1 \leqslant i_1 < i_2 < \cdots < i_k \leqslant m} \left( \sum_{j=1}^m \dfrac{\partial a_{i_1 i_2 \cdots i_k}}{\partial x_j} \mathrm{d}x_j \right) \land \mathrm{d}x_{i_1} \land \mathrm{d}x_{i_2} \land \cdots \land \mathrm{d}x_{i_k}, \\ & = \sum_{j=1}^m \sum_{1 \leqslant i_1 < i_2 < \cdots < i_k \leqslant m} \dfrac{\partial a_{i_1 i_2 \cdots i_k}}{\partial x_j} \mathrm{d}x_j \land \mathrm{d}x_{i_1} \land \mathrm{d}x_{i_2} \land \cdots \land \mathrm{d}x_{i_k}. \end{align}$$

显然$m$形式的外微分为零。以下对一个函数或微分形式作外微分时我们总是假设这个函数或微分形式的系数是可微的。

运算性质

外微分运算满足如下性质：

1. 线性性：$\forall \mu_1, \mu_2 \in \varLambda^k(U), \forall a, b \in \R, \mathrm{d}(a \mu_1 + b \mu_2) = a \mathrm{d}\mu_1 + b \mathrm{d}\mu_2.$
2. Leibniz 法则：$\forall \omega, \mu \in \varLambda^k(U), \mathrm{d}(\omega \land \mu) = (\mathrm{d}\omega) \land \mu + (-1)^k \omega \land (\mathrm{d}\mu).$
3. 假设有系数二阶可微的$\omega \in \varLambda^k(U), \mathrm{d}^2 (\omega) = \mathrm{d}(\mathrm{d}\omega) = 0.$

闭形式

有关闭形式与恰当形式的内容详见闭形式。

后拉

对应于映射的复合，微分形式在映射的作用下也会得到同阶的微分形式，详见后拉。

积分

详见微分形式的积分。