微分学中值定理

微分学中值定理包括 Rolle 定理、Lagrange 中值定理和 Cauchy 中值定理等。各中值定理、Taylor 公式以及 L' Hospital 法则在描述符合各定理条件的函数的局部性质上是一组等价定理，每个定理都是反映问题的不同侧面。

需要指出的是，中值定理针对实函数（特别是一元），复变函数中通常反映函数整体性质的中值定理失效，但反映函数局部特点的 Taylor 公式以及 L' Hospital 法则仍然对解析函数奏效。

中值不等式和中值定理的线积分形式可以在一定程度上推广到一般的 Banach 空间中的连续可微算子上去，参见 Gateaux 导数。

Rolle 定理

罗尔定理是最基础最简单的中值定理。

设函数$f(x)$连续于$[a, b]$，可导于$(a,b)$，且$f(a) = f(b)$，则一定存在$\xi \in (a, b)$，使得

$$f'( \xi ) = 0.$$

它的几何意义是，闭区间上的可导函数，如果区间端点函数值相等，则这个函数一定有一条水平切线。

Lagrange 中值定理

拉格朗日中值定理是最常见的中值定理。

如果一个函数$f(x)$连续于$[a, b]$，可导于$(a,b)$，则存在$\xi \in (a, b)$，使得

$$f'(\xi) = \dfrac{f(b) - f(a)} {b - a}.$$

如果令$\theta = \dfrac{\xi - a}{b - a}$，那么有$\theta \in (0, 1)$且$\xi = a + \theta (b - a)$，上式也可写作

$$f(b) - f(a) = f'(a+\theta(b-a)) (b-a).$$

Cauchy 中值定理

柯西中值定理常用在两个函数或函数参数表示的情形。

如果函数$f(x), g(x)$连续于$[a, b]$，可导于$(a,b)$且$g(a) \ne g(b)$，$f'(x)$与$g'(x)$不同时为零，则存在$\xi \in (a, b)$，使得

$$\dfrac{f'(\xi)}{g'(\xi)} = \dfrac{f(b) - f(a)} {g(b) - g(a)}.$$

特别地，当$g(x) = x$时就是 Lagrange 中值定理。

一般化

以下是中值定理的一个一般化形式。

设正整数$n \geqslant 3$，函数$f_i (x)$在$[a, b]$上连续，$(a,b)$上$n-2$阶可导，$i = 1,2,\cdots,n$，那么对任意的$x_j \in [a, b], j = 1,2,\cdots,n$，总存在$\xi \in (a, b)$，使得

$$\begin{vmatrix} f_1 (x_1) & f_2 (x_1) & \cdots & f_n (x_1) \\ f_1 (x_2) & f_2 (x_2) & \cdots & f_n (x_2) \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ f_1 (x_{n-1}) & f_2 (x_{n-1}) & \cdots & f_n (x_{n-1}) \\ f_1^{(n-2)} (\xi) & f_2^{(n-2)} (\xi) & \cdots & f_n^{(n-2)} (\xi) \\ \end{vmatrix} = 0.$$

特别地，当$n = 3, f_3 (x) = 1$时就是 Cauchy 中值定理。

多元函数的推广

由多元函数的 Taylor 公式可以得到如下多元函数场合下的中值定理。

设$D \subseteq \R^n$是凸开集，多元函数$f(\boldsymbol{x})$在$D$上可微，则对任意的$\boldsymbol{x_1,x_2} \in D$都存在$\theta \in (0, 1)$，使得$\boldsymbol{c} = \boldsymbol{x_1} + \theta (\boldsymbol{x_2-x_1})$，且

$$f(\boldsymbol{x_2}) - f(\boldsymbol{x_1}) = f'(\boldsymbol{c}) (\boldsymbol{x_2-x_1}).$$

特别地，在二元情形，设函数$f(x, y)$在点$(x_0, y_0)$处有一阶连续偏导数，那么存在$0<\theta<1$使得

$$\begin{align} f(x, y) - f(x_0, y_0) & = (x - x_0) f_x (x_0 + \theta(x - x_0), y_0 + \theta(y - y_0)) \\ & + (y - y_0) f_y (x_0 + \theta(x - x_0), y_0 + \theta(y - y_0)). \end{align}$$

微分中值不等式

在向量值函数的场合，微分中值定理不再成立，变成了微分中值不等式。

设$D \subseteq \R^n$是凸开集，$\boldsymbol{f(x)}$是$D \to \R^m$的可微函数，则对任意两点$\boldsymbol{x_1,x_2} \in D$，以及每一常向量$\boldsymbol{\alpha} \in \R^m$，都存在$\theta \in (0, 1)$，使得$\boldsymbol{c} = \boldsymbol{x_1} + \theta (\boldsymbol{x_2-x_1})$，且

$$\boldsymbol{\alpha}^\text{T} [\boldsymbol{f(x_2)} - \boldsymbol{f(x_1)}] = \boldsymbol{\alpha}^\text{T} \boldsymbol{f'(c)} (\boldsymbol{x_2-x_1}).$$

进而有如下微分不等式

$$|| \boldsymbol{f(x_2)} - \boldsymbol{f(x_1)} || \leqslant || \boldsymbol{f'(c)} || \cdot || \boldsymbol{x_2-x_1} ||.$$

虽然向量值函数的微分中值等式不成立，但有如下积分形式的等式成立。

积分形式

设$D \subseteq \R^n$是凸开集，$\boldsymbol{f(x)}$是$D \to \R^m$的可微函数，Jacobi 矩阵$D \boldsymbol{f(x)}$连续，那么有

$$\boldsymbol{f(x)} - \boldsymbol{f(y)} = \int_0^1 D \boldsymbol{f}(\boldsymbol{x} + \theta (\boldsymbol{y} - \boldsymbol{x})) \cdot \boldsymbol{(x-y)} \mathrm{d} \theta.$$

上述积分中乘法是内积运算，积分对每个分量进行，这一等式限制在$m = 1$时就是多元函数的情形，$m = n = 1$时就是一元函数的情形：

$$f(x) - f(y) = \int_0^1 f'(x + \theta (y-x)) (x-y) \mathrm{d} \theta.$$

参考资料

1. 欧阳光中, 朱学炎, 金福临, 陈传璋, 《数学分析》, 高等教育出版社, 北京, 2018-08, ISBN 978-7-0404-9718-2.