微分

微分是数学分析中的一个重要概念，在一元实函数领域发挥着重要的作用，它的本质是以直代曲，或者说，借助高阶无穷小近似一个函数的线性主部，也就是局部线性化。

对于多元函数的情形，微分有相应的推广，即全微分；对于向量值函数的情形，全微分也可以推广为导映射，详见向量值函数的微分。

定义

在函数$f(x)$的定义域中，设自变量$x$有一个改变量$\Delta x$，此时因变量也对应了一个改变量 $$\Delta y = f(x + \Delta x) - f(x)$$ 在$\Delta x \to 0$时如果上式可以写作下式 $$\Delta y = A \Delta x + o(\Delta x)$$ 其中，$A$是仅和$x$有关的常数，我们就称$f(x)$在$x$一点是可微的。

同时，我们记$\mathrm{d} y = A \Delta x$，它便称作$f(x)$在$x$点的微分。

与导数的关系

可以证明，一元实函数可导与可微是等价的，且有$\mathrm{d} y = f'(x) \mathrm{d} x$，其中$\mathrm{d} x = \Delta x~(\Delta x \to 0)$，需要注意的是，微分$\mathrm{d} y$是$x$以及$\mathrm{d} x$的函数，它不仅仅与$x$有关。

在明确一元实函数导数及微分的关系之后，我们可以借助导数的知识来解决微分问题，例如 $\mathrm{d} (x^2) = 2x \mathrm{d} x$ 此外，导数的表示$f'(x) = \dfrac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}$不再仅仅是形式记号，它可以是由微分进行简单的运算得到的一种新的等价表示方法。

一阶微分的形式不变性

对于一阶微分来说，有一个重要的特性——形式不变性，它在一元实函数的相关问题中占有很重要的一席之地。

设有复合函数$y = f(u), u = g(x)$，由复合函数求导法则，有 $$\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = f'(g(x)) \cdot g'(x).$$ 进一步，由微分与导数的关系，有 $$\mathrm{d}y = f'(g(x)) g'(x) \mathrm{d}x = f'(g(x)) \mathrm{d} g(x) = f'(u) \mathrm{d}u.$$ 这就是一阶微分的形式不变性，但要注意通常高阶微分不具有形式不变性。

高阶微分

像高阶导数那样，我们也可以定义函数$f(x)$高阶微分，用递归的方法，先定义二阶微分 $$\mathrm{d}^2 y = \mathrm{d}(\mathrm{d}y) = \mathrm{d} (y'\mathrm{d}x) = y''\mathrm{d}x^2.$$ 上式中$(\mathrm{d}x)^2$在不引起混淆的情况下也记作$\mathrm{d} x^2.$

$f(x)$的$n$阶微分定义为 $$\mathrm{d}^n y = \mathrm{d}(\mathrm{d}^{n-1} y) = y^{(n)}\mathrm{d}x^n.$$

有限增量公式

在很多问题中，使用有限增量公式会使问题变得简单，设函数$f(x)$在点$x_0$可微，那么在该点的某邻域中有限增量公式的基本形式为 $$\Delta y = f'(x_0) \Delta x + \omega(x) \Delta x.$$ 其中$\lim_{\Delta x \to 0} \omega(x) = \omega(x_0) = 0.$ 其优点是该等式易于控制，微分中的小o记号不便于进行运算。

它还可以写为 $$f(x) = f(x_0) + f'(x_0) (x - x_0) + \omega(x) (x - x_0).$$ 其中$\lim_{x \to x_0} \omega(x) = \omega(x_0) = 0.$

上下节

• 上一节：高阶导数
• 下一节：Fermat 定理

参考资料

1. 欧阳光中, 朱学炎, 金福临, 陈传璋, 《数学分析》, 高等教育出版社, 北京, 2018-08, ISBN 978-7-0404-9718-2.