弱收敛

弱收敛（weak convergence）是一个赋范线性空间中比依范数收敛条件更弱的收敛性，弱收敛性所关联的弱拓扑（weak topology）是保持赋范线性空间的对偶空间的线性算子连续性的最弱拓扑。有关拓扑上弱收敛性的定义以及弱拓扑的构造参见弱拓扑。

弱收敛以及*弱收敛的概念可以追溯至从有限维空间向无穷维函数空间（特别是内积空间）推广某些性质时的“依坐标收敛”，有限维空间中依坐标收敛的有界点列有收敛子列（Bolzano-Weierstrass 定理），在可分的 Hilbert 空间中，运用和 Bolzano-Weierstrass 定理类似的对角线证法可得有界点列有“依坐标收敛”（也就是弱收敛）的子列（Banach-Alaoglu 定理）。

概念

假设有赋范线性空间$X$，并有点列$\{ x_n \}_{n=1}^\infty \subset X$，我们称$\{ x_n \}$弱收敛到$x \in X$是指：对任意的$f \in X^*$都有$\lim_{n \to \infty} f(x_n) = f(x).$同时我们记$x_n \rightharpoonup x (n \to \infty).$同时也称$x$是$\{ x_n \}$的弱极限。与之相对的，按范数收敛被称为强收敛。

基本性质

1. 强收敛一定弱收敛，在无穷维空间中反之不真。有限维空间中两种收敛性等价，都是依坐标收敛。（参见弱拓扑#不同拓扑的关系）
2. 强极限存在，弱极限必定存在，且为强极限。
3. 弱收敛若存在则必唯一。
4. 如果赋范线性空间$X$中有$x_n \rightharpoonup x$，那么有
   $$\liminf_{n \to \infty} \| x_n \| \geqslant \| x \|.$$
   这是范数的弱下半连续性，这个性质可以直接验证，也可以从凸函数的序列下半连续性等价于序列弱下半连续性推出。
5. 如果赋范线性空间$X$中有$x_n \rightharpoonup x$，共轭空间$X^*$中有$f_n \to f$，那么$\langle f_n, x_n \rangle \to \langle f, x \rangle.$用插项的技巧，这仅需注意到
   $$|\langle f_n, x_n \rangle - \langle f, x \rangle| \leqslant |\langle f_n - f, x_n \rangle| + |\langle f, x_n - x \rangle| \leqslant \| f_n - f \| \| x_n \| + |f(x_n - x)|.$$
   如果将泛函的强收敛减弱为弱收敛，则结论不一定成立，例如无限维 Hilbert 空间中单位球面上的弱收敛的点列，$f_n = x_n.$
6. 如果自反空间$X$的中有序列$\{ x_n \}$满足对任意$f \in X^*$都有$\{ f(x_n) \}$收敛，那么存在$x \in X$使得$x_n$弱收敛到$x$。证明应用*弱拓扑#基本性质的最后一个，然后结合自反性得到，注意自反的条件是必须的，我们可以构造一个例子：取$X = c_0$（收敛到零的数列空间），令$x_n$是前$n$个坐标分量是1其余为0的元素，那么$x_n$不会弱收敛到$X$中的任何元素。

凸性和 Mazur 定理

假设有赋范线性空间$X$及$\{ x_n \} \rightharpoonup x_0 (n \to \infty)$，那么对任意的$\varepsilon > 0$存在$\lambda_i \geqslant 0, i = 1,2,\cdots,n, \sum_{i=1}^n \lambda_i = 1,$使得

$$\left\| x_0 - \sum_{i=1}^n \lambda_i x_i \right\| \leqslant \varepsilon.$$

这个定理表明弱收敛的某些线性组合可以用作“强收敛”。实际上这个定理揭示了凸集的强闭等价于弱序列闭性，此外还等价于弱闭性，即闭凸子集在弱收敛的意义下依然是闭的，即$M \subset X$是闭凸子集，且有$\{ x_n \} \subset M, x_n \rightharpoonup x$，于是$x \in M.$这个等价命题被称为 Mazur 定理。

因此，凸集上定义的凸函数（其定义等价于下方水平集是凸集）的序列下半连续性等价于序列弱下半连续性。

由凸集的强闭和弱闭的等价性，我们有：

假设$C$是赋范线性空间中的凸集，那么它的强闭包$\overline{C}$等于弱闭包$\overline{C}^{\sigma(X,X^*)}$。

关于这个定理/命题的证明，单击这里以显示/折叠

实际上，

1. $\overline{C}^{\sigma(X,X^*)} \subset \overline{C}$：注意到$\overline{C}$是强闭的，而凸集的强闭包依然是凸集，那$\overline{C}$也是弱闭的且包含$C$，而$\overline{C}^{\sigma(X,X^*)}$是包含$C$的最小的弱闭集，这样就得到结论。
2. $\overline{C}^{\sigma(X,X^*)} \supset \overline{C}$：和上面类似，注意到$\overline{C}^{\sigma(X,X^*)}$是弱闭的，而凸集的弱闭包也依然是凸集，那$\overline{C}^{\sigma(X,X^*)}$也是强闭的且包含$C$，而$\overline{C}$是包含$C$的最小的强闭集，这样就得到结论。

*弱收敛

假设$X$是赋范线性空间，$\{ f_n \}$是一列$X$上的连续线性泛函，我们称$\{ f_n \}$是*弱收敛到$f \in X^*$是指：$\forall x \in X, \lim_{n \to \infty} f_n(x) = f(x).$这时称$f$是泛函序列$\{ f_n \}$的*弱极限。

这个概念是将$X$上弱收敛的概念推广到$X^*$上的结果，故名*弱收敛，注意$X$可以和第二对偶空间$X^{**}$子空间建立等距同构，因此$X^*$上的弱收敛可以推出$X^*$上的*弱收敛。而当$X$是自反空间时，弱收敛和*弱收敛等价。

算子弱收敛性

类似于线性泛函的弱收敛，可以定义线性算子的弱收敛。假设$X, Y$是赋范线性空间，有连续算子序列$\{ T_n \} \subset \mathcal{L}(X, Y)$，$T \in \mathcal{L}(X, Y),$

1. 若$\lim_{n \to \infty} \| T_n - T \| = 0$，我们就称$\{ T_n \}$一致收敛于$T$，也称$T$是$\{ T_n \}$的一致极限，记作$T_n \rightrightarrows T.$
2. 若$\forall x \in X, \lim_{n \to \infty} \| (T_n - T)x \| = 0$，我们就称$\{ T_n \}$强收敛于$T$，也称$T$是$\{ T_n \}$的强极限，记作$T_n \to T.$
3. 若$\forall x \in X, \forall f \in Y^*, \lim_{n \to \infty} \| f(T_nx) \| = f(Tx)$，我们就称$\{ T_n \}$弱收敛于$T$，也称$T$是$\{ T_n \}$的弱极限，记作$T_n \rightharpoonup T.$

一致收敛强于强收敛，强收敛强于弱收敛。泛函是算子的特例，算子序列的一致收敛概念就相当于泛函序列的强收敛，而算子的强收敛和弱收敛都相当于泛函序列的弱*收敛。

Hilbert 空间

（Banach-Steinhaus 定理的推论）在 Hilbert 空间中，上述诸多拓扑有另外一些判断条件。假设$X$是 Hilbert 空间，$\{ x_n \} \subset X, x \in X$，$\{ e_k \}$是$X$的正交规范基，那么$x_n$弱收敛于$x$当且仅当

1. 有界性：$\exists M > 0, \| x_n \| \leqslant M.$
2. 依坐标收敛：$\lim_{n \to \infty} (x_n, e_k) = (x, e_k), \forall e_k \in \{ e_k \}.$

（一致凸空间的性质）假设$X$是 Hilbert 空间，$\{ x_n \} \subset X, x \in X$，那么$x_n$强收敛于$x$当且仅当

1. 模收敛：$\lim_{n \to \infty} \| x_n \| = \| x \|.$
2. 弱收敛：$x_n \rightharpoonup x (n \to \infty).$

存在这样的例子：一个序列同时是模收敛以及弱收敛的，但因其极限不一样而得不到强收敛，例如 Hilbert 空间上一些正交规范的基底中的元素组成的序列，它模收敛到1，弱收敛到零，因此不是强收敛的。实际上，按照范数的弱下半连续性，在弱收敛的情况下我们总有

$$\| x \| \leqslant \liminf_{n \to \infty} \| x_n \|.$$

上面的不等号严格成立时会造成紧性的缺失，这在变分中是一个比较麻烦的问题，参见集中紧性原理。

参考资料

1. 张恭庆, 林源渠, 《泛函分析讲义（上册）（第二版）》, 高等教育出版社, 北京, 2021-01, ISBN 978-7-3013-0964-3.