弱拓扑

弱拓扑（weak topology）是点集拓扑学中的一个概念，它在 Banach 空间理论中借助共轭空间描述原空间的性质时发挥着重要的作用。

定义

给定一个集合$X$以及一族拓扑空间$(Y_i, T_i)_{i \in I}$，假设有一族函数$\{ f_i: X \to Y_i \}_{i \in I}$，我们想要在$X$上定义一种拓扑，使得每个$f_i$均是连续函数，这样的拓扑是存在的，例如在$X$上规定所有子集都是开集，但是这个拓扑实在是太细了，很多性质不便研究，我们希望在$X$上以“最经济”的方式构造一种拓扑$T$，也就是说，希望这种拓扑$T$包含的开集尽可能地“少”，或者换作如下拓扑嵌入：

对任意拓扑空间$(X,T^{'})$，都存在拓扑嵌入$\iota :(X,T)\to (X,T^{'})$。

这个拓扑$T$就是最弱的（weakest）或最粗的（coarsest）拓扑，所有满足$f_i$连续的拓扑空间$(X.T^{'})$收集起来，按照拓扑的包含关系形成一个有序集，它是有界的。

构造

我们通过构造的方式给出弱拓扑$T$的存在性。

选择所有$Y_i$中的每个开集$\omega_i$在$f_i$下的原象集$f_i^{-1}(\omega_i)$，它必须是$T$中的元素，但是所有这样的元素收集起来未必会形成拓扑结构，因此需要借助其定义生成拓扑，我们收集下面形式的元素 $$\bigcup_{\text{arbitrary}} \bigcap_{\text{finite}} f_i^{-1}(\omega_i)$$ 即选择一些$f_i^{-1}(\omega_i)$先做有限交，再对所有这样的元素作任意并，形成一个新的集合，可以验证它是拓扑，我们称其为函数族$\{ f_i \}$所决定的弱拓扑。

有限交和任意并的顺序不能互换，否则得到的集族虽然对有限交封闭，但是未必对任意并封闭。

上面构造的过程中我们可以发现，对点$x \in X$，那么所有$f_i^{-1}(\omega_i)$的有限交构成的集族是$x$的一个邻域基，其中$\omega_i$是任意$x$的邻域。

基本性质

1. （弱收敛）$X$中的点列$(x_n)$在$T$的意义下收敛当且仅当对任意的$i \in I$，$(f_i(x_n))$收敛，这种$(x_n)$的收敛性被称作弱收敛。
2. （泛性质，绕过$X$讨论连续性）假设$Z$是拓扑空间，映射$g: Z \to X$连续当且仅当对任意的$U \in T$，$f^{-1}(U)$在$Z$中是开集，当且仅当对任意的$i \in I$，映射$f_i \circ g$连续。

赋范线性空间

在赋范线性空间$X$上，取$Y_i = \R$，那么函数族$f_i \in X^*$，这样定义的弱拓扑就是使得所有$X$上的连续线性泛函（这里的连续性是在范数拓扑意义的）依旧连续的最弱拓扑，记作$\sigma(X, X^*)$，由此引出的收敛性被称为弱收敛，这里我们不聚焦于这种收敛性（这方面的讨论参看弱收敛一页），而是讨论弱拓扑本身的性质，例如分离性、邻域等等。

在共轭空间$X^*$中，有两种拓扑，范数拓扑和弱拓扑$\sigma(X^*, X^{**})$，注意到$X$可以等距嵌入到$X^{**}$中，我们可以将定义弱拓扑的连续线性泛函$x^{**} \in X^{**}$减少一些，只要求$X$的象集中的那些泛函在新定义的拓扑上连续即可，由此定义出更弱的拓扑——*弱拓扑（weak* topology），“*”的意思是我们是定义在共轭空间上的，我们记作$\sigma(X^*, X)$。

分离性

在赋范线性空间$X$上，弱拓扑$\sigma(X, X^*)$和*弱拓扑$\sigma(X^*, X)$是 Hausdorff 的。（点击查看证明/解答）

×证明/解答

在赋范线性空间$X$上，弱拓扑$\sigma(X, X^*)$和*弱拓扑$\sigma(X^*, X)$是 Hausdorff 的。

关于这个定理/命题的证明，单击这里以显示/折叠

对于弱拓扑，对两个不相同的点$x_1, x_2 \in X$，我们要证明存在弱开集$U, V$使得$x_1 \in U, x_2 \in V, U \cap V = \varnothing$。由于$x_1 \ne x_2$，由凸集分离定理存在一个连续线性泛函$f \in X^*$以及$\alpha \in \R$使得$$f(x_1) < \alpha < f(x_2).$$这样我们令$$\begin{align} U = \{ x \in X: f(x) < \alpha \}, \quad V = \{ x \in X: f(x) > \alpha \}. \end{align}$$那么$U, V$就是满足条件的弱开集（$f$是弱拓扑下连续的，进而开集的原象就是弱开集）。

对于*弱拓扑，我们依旧对两个不相同的点$f_1, f_2 \in X^*$，我们要证明存在*弱开集$U, V$使得$f_1 \in U, f_2 \in V, U \cap V = \varnothing$。实际上，由于$f_1 \ne f_2$，那么存在一个$x \in X$使得$f_1(x) \ne f_2(x)$，不妨假设$f_1(x) < \alpha < f_2(x)$，继续上面的过程，令$$\begin{align} U = \{ f \in X^*: f(x) < \alpha \}, \quad V = \{ f \in X^*: f(x) > \alpha \}. \end{align}$$那么$U, V$就是满足条件的*弱开集。这里甚至不需要使用凸集分离定理，直接用两个映射不相等的定义就可以了。

邻域基

给定$x_0 \in X$，取$\varepsilon \geqslant 0$以及有限的连续线性泛函集合$\{ f_i \}_{i=1}^k$，那么 $$V(f_1, f_2, \cdots, f_k; \varepsilon) := \{ x \in X: |\langle f_i, x-x_0 \rangle| < \varepsilon, i = 1,2,\cdots,k \}$$

是$x_0$在$\sigma(X, X^*)$中的一个邻域，进而通过变动$\varepsilon$以及$\{ f_i \}$我们可以得到$x_0$的一个邻域基。（点击查看证明/解答）

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给定$x_0 \in X$，取$\varepsilon \geqslant 0$以及有限的连续线性泛函集合$\{ f_i \}_{i=1}^k$，那么

$$V(f_1, f_2, \cdots, f_k; \varepsilon) := \{ x \in X: |\langle f_i, x-x_0 \rangle| < \varepsilon, i = 1,2,\cdots,k \}$$

是$x_0$在$\sigma(X, X^*)$中的一个邻域，进而通过变动$\varepsilon$以及$\{ f_i \}$我们可以得到$x_0$的一个邻域基。

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首先$V(f_1, f_2, \cdots, f_k; \varepsilon) = \bigcap_{i=1}^k f_i^{-1}(x_0-\varepsilon, x_0+\varepsilon)$是弱开集（连续函数满足开集的原象是开集，开集的有限交是开集），下面我们证明存在$x_0$的弱邻域$U$使得$V \subset U$，由于$U$有形式$\bigcap_{i=1}^k f_i^{-1}(\omega_i)$，不妨假设$\omega_i$是$f_i(x_0)$的连通开集，那么取$\varepsilon = \min_{1 \leqslant i \leqslant k} \{ |x_0 - x_i|: x_i \in \omega_i \} > 0$，$V(f_1, f_2, \cdots, f_k; \varepsilon)$就是符合要求的邻域。

这样的邻域基按构造形式来看，当$\varepsilon = 0$，令$y_0 = x - x_0$，那么$\langle f_i, y_0 \rangle = 0$在$X$是无限维空间的时候，$y_0 = x - x_0 \in \ker \bigcap_{i=1}^k f_i$，核空间依然是无限维的，这就说明了邻域至少是无界的（包含了一个无穷维子空间），且具有某种仿射线性性（因为本身就是根据线性泛函定义的，线性性只是代数性质，新的拓扑理应保持某种线性关系），不同于强拓扑下经典邻域的有界性。

对于*弱拓扑，它的邻域基也有类似的形式，给定$f_0 \in X^*$，取$\varepsilon \geqslant 0$以及有限点集$\{ x_i \}_{i=1}^k$，那么 $$V(x_1, x_2, \cdots, x_k; \varepsilon) := \{ f \in X^*: |\langle f-f_0, x_i \rangle| < \varepsilon, i = 1,2,\cdots,k \}$$是$f_0$在$\sigma(X^*, X)$中的一个邻域，进而通过变动$\varepsilon$以及$\{ x_i \}$我们可以得到$f_0$的一个邻域基。

不同拓扑的关系

根据拓扑的构造，天然地有：强拓扑比弱拓扑细，弱拓扑比*弱拓扑细。因此强收敛蕴含弱收敛，泛函的弱收敛蕴含*弱收敛。

1. 在有限维空间中这三者等价。（点击查看证明/解答）
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   假设$X$是有限维赋范线性空间，那么$X$上的范数拓扑、弱拓扑、*弱拓扑三者等价。

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   由于有限维赋范线性空间是自反的，那么弱拓扑和*弱拓扑等价，我们只需要证明范数拓扑和弱拓扑等价即可，这只需要证明任意的强开集$U$也是弱开集。选择任意点$x_0 \in X$的一个强邻域$U$，我们需要找一个$U$中的包含$x_0$的弱开集，不妨假设我们要找的弱开集具有邻域基的形式$$V = \{ x \in X: |f_i(x-x_0)| < \varepsilon \}.$$任取开球$B(x_0, r) \subset U$，假设$X$的一组标准正交基是$\{ e_i \}_{i=1}^n$，记$x = \sum_{i=1}^n x_ie_i$，那么我们有$$\| x - x_0 \| \leqslant \sum_{i=1}^n |f_i(x-x_0)| < n r.$$因此只需取$\varepsilon = r/n$即可得到$V \subset B(x_0, r) \subset U.$
2. 在无限维空间中弱拓扑和强拓扑一定不等价。总存在一个强拓扑中的闭集（单位球面），它不是弱拓扑中的闭集（强单位球面的弱闭包是强单位球），此外进而可以证明强拓扑中的单位开球不是弱拓扑中的开集。（点击查看证明/解答）
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   假设$X$是无限维赋范线性空间，那么$X$上的强闭单位球面$$S := \{ x \in X: \| x \| = 1 \}$$不是弱闭的，事实上$S$的弱闭包是强闭单位球$$B := \{ x \in X: \| x \| \leqslant 1 \}.$$

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   首先我们证明$B$是弱闭的，实际上$$B = \bigcap_{\overset{f \in X^*}{\underset{\| f \| \leqslant 1}{}}} f^{-1}([-1, 1]).$$由连续函数的性质闭集的原象是闭集以及闭集的任意交是闭集得到$B$是弱闭集。
   接下来我们证明$B$在$S$的弱闭包内，事实上我们只需要考察$B \setminus S$中的点即可，对任意$x_0 \in B \setminus S$的一个弱邻域$V$我们都要证明$V$中既有$S$中的点即$V \cap S \ne \varnothing$也有不在$S$中的点（显然的，因为$x_0 \in V \setminus S$），要证明前者，我们不妨假设$V$有邻域基的形式$$V = \{ x \in X: |f_i(x)| < \varepsilon, i = 1,2,\cdots, k \},$$其中$f_i \in X^*, \varepsilon > 0.$由于$X$是无限维的，根据上面的分析，$\bigcap_{i=1}^k \ker f_i \ne \{ 0 \}$，任取$y_0 \in \bigcap_{i=1}^k \ker f_i \setminus \{ 0 \}$，构造函数$\varphi(t) = \| x_0 + ty_0 \|$，它是连续的且$\varphi(0) < 1, \varphi(+\infty) = +\infty$，根据介值定理存在$t_0 \in \R$使得$x_0 + t_0 y_0 \in S$，这样$x_0 + t_0 y_0 \in V \cap S.$
   这个例子还告诉我们，强开集$C := \{ x \in X: \| x \| < 1 \}$不是弱开集，如果它是，那么补集$X \setminus C$是弱闭集，而$S = B \cap (X \setminus C)$将成为弱闭集，和上面的分析矛盾。
3. 在自反空间（$X$和$X^{**}$等距同构）中，弱拓扑和*弱拓扑等价。

无限维空间中弱拓扑和强拓扑不等价并不意味着强收敛和弱收敛不等价，因为序列收敛性在一般的拓扑空间中的要求比拓扑性质弱（例如序列闭集一定是闭集，连续映射可以推出序列的$\varepsilon\text{-}N$性质，反之都未必，但是在第一可数空间中等价），而弱拓扑一般可以不是第一可数的。真的存在这样的空间，它的强收敛和弱收敛等价（$l^1$空间，绝对收敛的数项级数构成的赋范线性空间，被称为万有空间）。

参考资料

1. Haïm Brezis, Functional Analysis, Sobolev Spaces and Partial Differential Equations, Springer Science&Business Media, 2010-11, ISBN 978-0-3877-0913-0.

参考资料

1. Haïm Brezis, Functional Analysis, Sobolev Spaces and Partial Differential Equations, Springer Science&Business Media, 2010-11, ISBN 978-0-3877-0913-0.