弧長參數

研究曲線時經常會選擇合適的參數，而弧長參數是最常使用的，也是最簡單的。

定義

假設有正則曲線$\boldsymbol{r}(t)$，其中$t \in (a, b)$，我們考慮如下定積分 $$s(t) = \int_a^t |\boldsymbol{r}'(u)|\mathrm{d}u$$ 因為$\boldsymbol{r}$是正則的，因此被積函數嚴格大於零，因此$s(t)$在$(a,b)$上嚴格單調遞增，故存在反函數$t(s)$定義在$(0, s(b))$上，這樣一個$s$可以唯一和曲線上一點對應，這個新的參數$s$稱為弧長參數。

弧長參數也稱為內蘊參數，是因為它是幾何不變量：在曲線做剛體或反射變換前後參數不變。

性質

假設同上，計算 $$\left| \dfrac{\mathrm{d}\boldsymbol{r}}{\mathrm{d}s} \right| = \left| \dfrac{\mathrm{d}\boldsymbol{r}}{\mathrm{d}t} \dfrac{\mathrm{d}t}{\mathrm{d}t} \right| = 1.$$ 因此弧長參數的導數的模恆為常向量，我們就可以得到 $$\boldsymbol{t}(s) = \dfrac{\mathrm{d}\boldsymbol{r}}{\mathrm{d}s}$$ 是該曲線的單位切向量。而曲線的曲率定義為 $$\kappa(s) = |\boldsymbol{t}(s)| = \left| \dfrac{\mathrm{d}\boldsymbol{r}}{\mathrm{d}s} \right|$$ （二維情形上述曲率是有正負的，如果切向量和法向量成右手系就取正值）進一步有（主）法向量 $$\boldsymbol{n}(s) = \dfrac{1}{|\kappa(s)|} \dfrac{\mathrm{d}\boldsymbol{t}}{\mathrm{d}s}$$

參考資料

1. 彭家貴, 陳卿, 《微分幾何（第2版）》, 高等教育出版社, 北京, 2011-11, ISBN 978-7-0405-6950-6.