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研究曲线时经常会选择合适的参数,而弧长参数是最常使用的,也是最简单的。

定义[]

假设有正则曲线,其中,我们考虑如下定积分

因为是正则的,因此被积函数严格大于零,因此上严格单调递增,故存在反函数定义在上,这样一个可以唯一和曲线上一点对应,这个新的参数称为弧长参数

弧长参数也称为内蕴参数,是因为它是几何不变量:在曲线做刚体或反射变换前后参数不变。

性质[]

假设同上,计算

因此弧长参数的导数的模恒为常向量,我们就可以得到
是该曲线的单位切向量。而曲线的曲率定义为
(二维情形上述曲率是有正负的,如果切向量和法向量成右手系就取正值)进一步有(主)法向量

参考资料

  1. 彭家贵, 陈卿, 《微分几何(第2版)》, 高等教育出版社, 北京, 2011-11, ISBN 978-7-0405-6950-6.
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