研究曲线时经常会选择合适的参数,而弧长参数是最常使用的,也是最简单的。
定义[]
因为是正则的,因此被积函数严格大于零,因此在上严格单调递增,故存在反函数定义在上,这样一个可以唯一和曲线上一点对应,这个新的参数称为弧长参数。
弧长参数也称为内蕴参数,是因为它是几何不变量:在曲线做刚体或反射变换前后参数不变。
性质[]
假设同上,计算
因此弧长参数的导数的模恒为常向量,我们就可以得到
是该曲线的单位切向量。而曲线的曲率定义为
(二维情形上述曲率是有正负的,如果切向量和法向量成右手系就取正值)进一步有(主)法向量
参考资料
- 彭家贵, 陈卿, 《微分几何(第2版)》, 高等教育出版社, 北京, 2011-11, ISBN
978-7-0405-6950-6
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微分几何学(学科代码:1102745,GB/T 13745—2009) | |
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曲线论 | 曲线 ▪ 参数曲线 ▪ 正则曲线 ▪ 弧长参数 ▪ 曲率 ▪ 挠率 ▪ Frenet 标架 ▪ 向量积 ▪ 曲线论基本定理 ▪ 混合积 ▪ 渐屈线 ▪ 四顶点定理 ▪ 旋转指数定理 |
曲面局部理论 | 曲面 ▪ 曲面的第一基本形式 ▪ 曲面的第二基本形式 ▪ 曲面的第三基本形式 ▪ 法曲率 ▪ 主曲率 ▪ Gauss 曲率 ▪ Dupin 标线 ▪ Weingarten 变换 ▪ Riemann 度量 ▪ Gauss 方程和 Codazzi 方程 ▪ 曲面的正交标架 |
曲面整体理论 | Euler 示性数 ▪ Gauss-Bonnet 公式 ▪ 紧致曲面 ▪ 凸曲面 ▪ 完备曲面 ▪ 常 Gauss 曲率曲面(sine-Gordon 方程) ▪ Hilbert 定理 ▪ 常平均曲率曲面(Hopf 微分) ▪ 极小曲面 ▪ 稳定极小曲面 |
特殊类型曲面 | 直纹面(包括可展曲面,正螺面,切线面) ▪ 旋转面(包括柱面,锥面,伪球面,悬链面) ▪ 全脐点曲面 |
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