開映射定理

開映射定理（open map theorem）是 Banach 空間中線性算子的一個重要定理，它表明 Banach 空間中的可逆的連續線性算子的逆依然是連續線性算子。這個定理是一組族泛函分析中的等價定理之一（其他定理還有閉圖像定理、共鳴定理和等價範數定理等等）。關於非線性的緊算子，也有類似的結論，參見/緊算子。

內容

（逆算子定理）假設$X, Y$是 Banach 空間，$T: X \to Y$是可逆的連續線性算子，那麼$T^{-1}$也是連續線性算子。

（開映射定理）一般地，如果僅假設$T$是連續的滿線性算子，那麼$T$將開集映為開集，即$f$是開映射。

上述定理中可以將連續性弱化為閉性。

從另一個角度來看，

開映射定理的結論等價於存在一個常數$c > 0$使得$T(B_X(0, 1)) \supset B_Y(0, c).$

關於這個定理/命題的證明，單擊這裏以顯示/摺疊

必要性顯然，我們來說明充分性，假設$U$是$X$中的開集，對任意固定的一個點$y_0 \in T(U)$，我們要證明存在開球$B(x_0, r) \subset T(U)$，顯然存在$x_0 \in U$使得$y_0 = Tx_0$，取$x_0$在$U$中的一個開球$B(x_0, s)$，我們有

$$T(B(x_0, s)) = T(x_0 + sB(0, 1)) = y_0 + sT(B(0, 1)) \supset y_0 + sB(0, c) = B(y_0, sc).$$

令$r = sc$即得結論。

我們指出開映射定理蘊含逆算子定理，這樣我們只需證明開映射定理即可。

假設$X, Y$是 Banach 空間，$T: X \to Y$是既單又滿的連續線性算子，那麼$T^{-1}$也是連續線性算子。

關於這個定理/命題的證明，單擊這裏以顯示/摺疊

由#推論3，如果對$x \in X$成立$\| Tx \| < c$，那麼$\| x \| < 1$，於是$$\| x \| \leqslant c^{-1} \| Tx \|.$$

由於$T$是雙射，那麼對任意$y \in Y$存在唯一的$x = T^{-1}y$，這樣 $$\| T^{-1} \| = \sup_{y \in Y} \dfrac{\| T^{-1} y \|}{\| y \|} = \sup_{x \in X} \dfrac{\| x \|}{\| Tx \|} \leqslant \dfrac{1}{c}.$$

證明

假設$T$是從$X$到$Y$的線性滿射算子。則存在常數$c > 0$使得 $$T\left(B\left(0,1\right)\right)\supset B\left(0,2c\right).$$

關於這個定理/命題的證明，單擊這裏以顯示/摺疊

設$Y_{n}=nT\left(B\left(0,1\right)\right)$。由於$T$是滿射，我們有 $$\bigcup _{n=1}^{\infty }Y_{n}=Y,$$ 根據 Baire 綱定理，存在$n_{0}$使得${\text{Int}}\left(Y_{n_{0}}\right)\neq \emptyset$。因此， $${\text{Int}}\left[T\left(B\left(0,1\right)\right)\right]\neq \emptyset .$$ 選擇$c > 0$以及$y_0 \in Y$使得 $$B\left(y_{0},4c\right)\subset T\left(B\left(0,1\right)\right).$$ 特別地，$y_{0}\in T\left(B\left(0,1\right)\right)$，且由對稱性， $$-y_{0}\in T\left(B\left(0,1\right)\right).$$ 於是 $$B\left(0,4c\right)\subset T\left(B\left(0,1\right)\right)+T\left(B\left(0,1\right)\right).$$ 另一方面，由於$T\left(B\left(0,1\right)\right)$是凸的，我們有 $$T\left(B\left(0,1\right)\right)+T\left(B\left(0,1\right)\right)=2T\left(B\left(0,1\right)\right),$$

假設$T$是從$X$到$Y$的連續線性算子，且滿足#步驟1的式子，那麼

$$T\left(B\left(0,1\right)\right)\supset B\left(0,c\right).$$

關於這個定理/命題的證明，單擊這裏以顯示/摺疊

選擇任意$y \in Y$滿足$\left\|y\right\|<c$。以圖找到$x \in X$使得

$$\left\|x\right\|<1\quad {\text{且}}\quad Tx=y.$$ 根據#步驟1，我們知道 $$\forall \varepsilon >0\quad \exists z\in X{\text{ 满 足 }}\left\|z\right\|<{\frac {1}{2}}{\text{ 且 }}\left\|y-Tz\right\|<\varepsilon .$$ 選擇$\varepsilon =c/2$，存在$z_{1}\in X$使得 $$\left\|z_{1}\right\|<{\frac {1}{2}}\quad {\text{且}}\quad \left\|y-Tz_{1}\right\|<{\frac {c}{2}}.$$ 對$y-Tz_{1}$應用相同的構造過程，選擇$\varepsilon =c/4$，存在$z_{2}\in X$使得 $$\left\|z_{2}\right\|<{\frac {1}{4}}{\text{ 且 }}\left\|\left(y-Tz_{1}\right)-Tz_{2}\right\|<{\frac {c}{4}}.$$ 類似通過數學歸納法，得到一個序列$\left(z_{n}\right)$滿足 $$\left\|z_{n}\right\|<{\frac {1}{2^{n}}}{\text{ 且 }}\left\|y-T\left(z_{1}+z_{2}+\cdots +z_{n}\right)\right\|<{\frac {c}{2^{n}}}\quad \forall n.$$

因此，序列$x_{n}=z_{1}+z_{2}+\cdots +z_{n}$是一個 Cauchy 序列。設$x_n \to x$，顯然$\left\|x\right\|<1$且$y = Tx$（因為$T$是連續的）。

參考資料

1. 張恭慶, 林源渠, 《泛函分析講義（上冊）（第二版）》, 高等教育出版社, 北京, 2021-01, ISBN 978-7-3013-0964-3.
2. Haïm Brezis, Functional Analysis, Sobolev Spaces and Partial Differential Equations, Springer Science&Business Media, 2010-11, ISBN 978-0-3877-0913-0.