开映射定理/紧算子

紧算子的开映射定理表明：赋范线性空间上的恒同映射减去局部一一的紧算子能将开集映为开集。

内容

假设$U$是实赋范线性空间$X$中的开集，$F:{\overline {U}}\to X$是紧算子，$f:={\text{Id}}-F$将$U$中的任意开集映为开集，即$f$是开映射。

证明

开映射等价于将内点映为内点，因此我们证明的时候只需要考察$x_0 \in U$蕴含$f(x_0)$是$f(U)$的内点，为此，在平移的意义下不妨假设$x_0 = 0$且$f(0) = 0.$由于$f$局部一一，取$0 \in X$的$\varepsilon -$邻域$B(0, \varepsilon)$使得$f$在${\overline {B(0,\varepsilon )}}$上是双射，我们要找到一个$\delta > 0$使得对任意的$p\in B(0,\delta )$，$f(x)=p$在$x\in B(0,\varepsilon )$中有解。方程解的问题我们自然想到使用 Leray-Schauder 度理论，为此我们可以构造一个$f$和奇映射之间的紧同伦，对奇映射应用 Borsuk-Ulam 定理。

作同伦 $$H(x,t)=F\!\left({\dfrac {x}{1+t}}\right)-F\!\left({\frac {-tx}{1+t}}\right),\quad h_{t}(x)=x-H(x,t),\quad \forall (x,t)\in {\overline {B(0,\varepsilon )}}\times [0,1].$$ 于是$h_{0}(x)=f(x),h_{1}(x)=f\!\left({\dfrac {x}{2}}\right)-f\!\left(-{\dfrac {x}{2}}\right)$是奇映射，因此度数为奇数，进而如果我们可以验证$0\notin h_{t}(\partial B(0,\varepsilon ))$即可说明 $${\text{deg}}(f,B(0,\varepsilon ),0)\neq 0.$$ 由度数函数$p\mapsto {\text{deg}}(f,U,p)$的连通区性质，得到存在$\delta > 0$使得${\text{deg}}(f,B(0,\varepsilon ),p)\neq 0$，于是$f(x)=p$有解。

下面说明$0\notin h_{t}(\partial B(0,\varepsilon ))$，任取$x\in \partial B(0,\varepsilon )$以及$t \in [0,1]$，很容易得到${\dfrac {1}{1+t}}x\neq {\dfrac {-t}{1+t}}x$，由于$f$在${\overline {B(0,\varepsilon )}}$上是双射，这表明$h_{t}(x)\neq 0.$