开映射定理(open map theorem)是 Banach 空间中线性算子的一个重要定理,它表明 Banach 空间中的可逆的连续线性算子的逆依然是连续线性算子。这个定理是一组族泛函分析中的等价定理之一(其他定理还有闭图像定理、共鸣定理和等价范数定理等等)。关于非线性的紧算子,也有类似的结论,参见/紧算子。
内容[]
(逆算子定理)假设
是 Banach 空间,
是可逆的连续线性算子,那么
也是连续线性算子。
(开映射定理)一般地,如果仅假设
是连续的满线性算子,那么
将开集映为开集,即
是开映射。
上述定理中可以将连续性弱化为闭性。
从另一个角度来看,
开映射定理的结论等价于存在一个常数

使得

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必要性显然,我们来说明充分性,假设

是

中的
开集,对任意固定的一个点

,我们要证明存在开球

,显然存在

使得

,取

在

中的一个开球

,我们有
令

即得结论。
我们指出开映射定理蕴含逆算子定理,这样我们只需证明开映射定理即可。
假设

是 Banach 空间,

是既单又满的连续线性算子,那么

也是连续线性算子。
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由
#推论3,如果对

成立

,那么

,于是
由于
是双射,那么对任意
存在唯一的
,这样
证明[]
假设

是从

到

的线性满射算子。则存在常数

使得

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设
。由于
是满射,我们有
根据 Baire 纲定理,存在
使得
。因此,
选择
以及
使得
特别地,
,且由对称性,
于是
另一方面,由于
是凸的,我们有
假设

是从

到

的连续线性算子,且满足
#步骤1的式子,那么
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参考资料
- 张恭庆, 林源渠, 《泛函分析讲义(上册)(第二版)》, 高等教育出版社, 北京, 2021-01, ISBN
978-7-3013-0964-3
. - Haïm Brezis, Functional Analysis, Sobolev Spaces and Partial Differential Equations, Springer Science&Business Media, 2010-11, ISBN
978-0-3877-0913-0
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