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开映射定理(open map theorem)是 Banach 空间线性算子的一个重要定理,它表明 Banach 空间中的可逆的连续线性算子的逆依然是连续线性算子。这个定理是一组族泛函分析中的等价定理之一(其他定理还有闭图像定理共鸣定理等价范数定理等等)。关于非线性的紧算子,也有类似的结论,参见/紧算子

内容[]

(逆算子定理)假设是 Banach 空间,是可逆的连续线性算子,那么也是连续线性算子。

(开映射定理)一般地,如果仅假设是连续的满线性算子,那么将开集映为开集,即是开映射。

上述定理中可以将连续性弱化为闭性

从另一个角度来看,

开映射定理的结论等价于存在一个常数使得
关于这个定理/命题的证明,单击这里以显示/折叠
必要性显然,我们来说明充分性,假设中的开集,对任意固定的一个点,我们要证明存在开球,显然存在使得,取中的一个开球,我们有

即得结论。

我们指出开映射定理蕴含逆算子定理,这样我们只需证明开映射定理即可。

假设是 Banach 空间,是既单又满的连续线性算子,那么也是连续线性算子。
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#推论3,如果对成立,那么,于是

由于是双射,那么对任意存在唯一的,这样

证明[]

假设是从的线性满射算子。则存在常数使得
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。由于是满射,我们有 根据 Baire 纲定理,存在使得。因此, 选择以及使得 特别地,,且由对称性, 于是 另一方面,由于是凸的,我们有

假设是从的连续线性算子,且满足#步骤1的式子,那么

关于这个定理/命题的证明,单击这里以显示/折叠
选择任意满足。以图找到使得

根据#步骤1,我们知道 选择,存在使得 应用相同的构造过程,选择,存在使得 类似通过数学归纳法,得到一个序列满足

因此,序列是一个 Cauchy 序列。设,显然(因为是连续的)。

参考资料

  1. 张恭庆, 林源渠, 《泛函分析讲义(上册)(第二版)》, 高等教育出版社, 北京, 2021-01, ISBN 978-7-3013-0964-3.
  2. Haïm Brezis, Functional Analysis, Sobolev Spaces and Partial Differential Equations, Springer Science&Business Media, 2010-11, ISBN 978-0-3877-0913-0.
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