开映射定理

开映射定理（open map theorem）是 Banach 空间中线性算子的一个重要定理，它表明 Banach 空间中的可逆的连续线性算子的逆依然是连续线性算子。这个定理是一组族泛函分析中的等价定理之一（其他定理还有闭图像定理、共鸣定理和等价范数定理等等）。关于非线性的紧算子，也有类似的结论，参见/紧算子。

内容

（逆算子定理）假设$X, Y$是 Banach 空间，$T: X \to Y$是可逆的连续线性算子，那么$T^{-1}$也是连续线性算子。

（开映射定理）一般地，如果仅假设$T$是连续的满线性算子，那么$T$将开集映为开集，即$f$是开映射。

上述定理中可以将连续性弱化为闭性。

从另一个角度来看，

开映射定理的结论等价于存在一个常数$c > 0$使得$T(B_X(0, 1)) \supset B_Y(0, c).$

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必要性显然，我们来说明充分性，假设$U$是$X$中的开集，对任意固定的一个点$y_0 \in T(U)$，我们要证明存在开球$B(x_0, r) \subset T(U)$，显然存在$x_0 \in U$使得$y_0 = Tx_0$，取$x_0$在$U$中的一个开球$B(x_0, s)$，我们有

$$T(B(x_0, s)) = T(x_0 + sB(0, 1)) = y_0 + sT(B(0, 1)) \supset y_0 + sB(0, c) = B(y_0, sc).$$

令$r = sc$即得结论。

我们指出开映射定理蕴含逆算子定理，这样我们只需证明开映射定理即可。

假设$X, Y$是 Banach 空间，$T: X \to Y$是既单又满的连续线性算子，那么$T^{-1}$也是连续线性算子。

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由#推论3，如果对$x \in X$成立$\| Tx \| < c$，那么$\| x \| < 1$，于是$$\| x \| \leqslant c^{-1} \| Tx \|.$$

由于$T$是双射，那么对任意$y \in Y$存在唯一的$x = T^{-1}y$，这样 $$\| T^{-1} \| = \sup_{y \in Y} \dfrac{\| T^{-1} y \|}{\| y \|} = \sup_{x \in X} \dfrac{\| x \|}{\| Tx \|} \leqslant \dfrac{1}{c}.$$

证明

假设$T$是从$X$到$Y$的线性满射算子。则存在常数$c > 0$使得 $$T\left(B\left(0,1\right)\right)\supset B\left(0,2c\right).$$

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设$Y_{n}=nT\left(B\left(0,1\right)\right)$。由于$T$是满射，我们有 $$\bigcup _{n=1}^{\infty }Y_{n}=Y,$$ 根据 Baire 纲定理，存在$n_{0}$使得${\text{Int}}\left(Y_{n_{0}}\right)\neq \emptyset$。因此， $${\text{Int}}\left[T\left(B\left(0,1\right)\right)\right]\neq \emptyset .$$ 选择$c > 0$以及$y_0 \in Y$使得 $$B\left(y_{0},4c\right)\subset T\left(B\left(0,1\right)\right).$$ 特别地，$y_{0}\in T\left(B\left(0,1\right)\right)$，且由对称性， $$-y_{0}\in T\left(B\left(0,1\right)\right).$$ 于是 $$B\left(0,4c\right)\subset T\left(B\left(0,1\right)\right)+T\left(B\left(0,1\right)\right).$$ 另一方面，由于$T\left(B\left(0,1\right)\right)$是凸的，我们有 $$T\left(B\left(0,1\right)\right)+T\left(B\left(0,1\right)\right)=2T\left(B\left(0,1\right)\right),$$

假设$T$是从$X$到$Y$的连续线性算子，且满足#步骤1的式子，那么

$$T\left(B\left(0,1\right)\right)\supset B\left(0,c\right).$$

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选择任意$y \in Y$满足$\left\|y\right\|<c$。以图找到$x \in X$使得

$$\left\|x\right\|<1\quad {\text{且}}\quad Tx=y.$$ 根据#步骤1，我们知道 $$\forall \varepsilon >0\quad \exists z\in X{\text{ 满 足 }}\left\|z\right\|<{\frac {1}{2}}{\text{ 且 }}\left\|y-Tz\right\|<\varepsilon .$$ 选择$\varepsilon =c/2$，存在$z_{1}\in X$使得 $$\left\|z_{1}\right\|<{\frac {1}{2}}\quad {\text{且}}\quad \left\|y-Tz_{1}\right\|<{\frac {c}{2}}.$$ 对$y-Tz_{1}$应用相同的构造过程，选择$\varepsilon =c/4$，存在$z_{2}\in X$使得 $$\left\|z_{2}\right\|<{\frac {1}{4}}{\text{ 且 }}\left\|\left(y-Tz_{1}\right)-Tz_{2}\right\|<{\frac {c}{4}}.$$ 类似通过数学归纳法，得到一个序列$\left(z_{n}\right)$满足 $$\left\|z_{n}\right\|<{\frac {1}{2^{n}}}{\text{ 且 }}\left\|y-T\left(z_{1}+z_{2}+\cdots +z_{n}\right)\right\|<{\frac {c}{2^{n}}}\quad \forall n.$$

因此，序列$x_{n}=z_{1}+z_{2}+\cdots +z_{n}$是一个 Cauchy 序列。设$x_n \to x$，显然$\left\|x\right\|<1$且$y = Tx$（因为$T$是连续的）。

参考资料

1. 张恭庆, 林源渠, 《泛函分析讲义（上册）（第二版）》, 高等教育出版社, 北京, 2021-01, ISBN 978-7-3013-0964-3.
2. Haïm Brezis, Functional Analysis, Sobolev Spaces and Partial Differential Equations, Springer Science&Business Media, 2010-11, ISBN 978-0-3877-0913-0.