度量空间

度量空间（metric space）又称赋距空间，是指具有某种表达一个集合中两个点间“距离”的空间（或者说，是具备了“距离”这一函数的点集），这个在该空间用来表达两点间“距离”的函数又称之为度量，可以用不同的方式来定义一个空间的度量。

度量

对集合$\mathcal {X}$而言，其上的度量$\rho$为一从$\mathcal{X} \times \mathcal{X}$映到实数集$\R$的函数，且满足：

1. 非负性：$\forall x, y \in \mathcal{X}, \rho(x, y) \geqslant 0$，$\rho(x, y) = 0 \iff x = y.$
2. 对称性：$\forall x, y \in \mathcal{X}, \rho(x, y) = \rho(y, x).$
3. 三角不等式：$\forall x, y, z \in \mathcal{X}, \rho(x, y) \leqslant \rho(x, z) + \rho(z, y).$

假设同上，$(\mathcal{X}, \rho)$称为一度量空间，有时也简记为$\mathcal{X}.$

展开例子折叠例子

1. 一般所谓的 Euclid 空间及其上一般意义下的距离即度量空间之一例。
2. 区间$[a, b]$上连续函数之全体$C[a, b]$，连同定义的距离$\forall x, y \in C[a, b], \rho(x, y) = \max_{t \in [a, b]} |x(t) - y(t)|$构成一度量空间。

在度量空间中，一般以开球来定义其开集合：对于具有度量$\rho$的空间$\mathcal {X}$，若其有一子集$U$为一开集，则$\forall x \in U$，存在一个以$x$为「中心点」的开球$B(x, r) \subset U.$

收敛点列

引进距离的目的是刻画收敛，从而在一般的抽象点集上可以运用数学分析的方法解决问题。

度量空间$(\mathcal{X}, \rho)$上的一个点列$\{ x_n \}$称为是收敛的，是只存在$x_0 \in \mathcal{X}$，极限 $$\lim_{n \to \infty} \rho(x_n, x_0) = 0.$$ 这有时也写作$\lim_{n \to \infty} x_n = x_0.$

在度量空间$\mathcal {X}$中，一个子集$S \subset \mathcal{X}$是闭集，是指$S$中任何序列在$S$中都是收敛的。

稠密子集

设有度量空间$(\mathcal{X}, \rho)$，集合$S \subset \mathcal{X}$称为稠密子集，是说$\forall x \in \mathcal{X}$存在$E$中的一列点列$\{ x_n \}$使得$x_n \to x, n \to \infty.$

展开例子折叠例子

1. $\mathbb{Q}$在$\R$中是稠密的。
2. 多项式空间$P[x]$在连续函数空间$(C[a, b], \rho)$中是稠密的。
3. Riemann 可积函数空间$R[a, b]$在 Lebesgue 可积函数空间$L[a, b]$中是稠密的。

完备性

一个度量空间是完备的，是指在该度量空间中，所有的柯西序列都收敛。所谓柯西序列（Cauchy 列）$\{ x_n \}$是指，$\forall \varepsilon > 0, \exists N \in \N^+, \forall m, n > N, \rho(x_m, x_n) < \varepsilon.$这样的$\{ x_n \}$也被称为是基本列。基本列一定是收敛列，在一般的度量空间里反之未必，所有收敛列为基本列的空间为完备度量空间。

展开例子折叠例子

1. $\R^n$中的有界开集不是完备的，全空间连同普通距离是完备的。
2. 上一例中的$(C[a, b], \rho)$是完备的，若将$C[a, b]$换为全体多项式构成的空间则不是完备的。
3. $\R$上的有理数集连同绝对值作为距离构成的空间不是完备的，$\R, \C$都是完备的。

等距同构

假设有两个度量空间$(\mathcal{X}_1, \rho_1)$和$(\mathcal{X}_2, \rho_2)$，如果存在一个映射$T: \mathcal{X}_1 \to \mathcal{X}_2$满足

1. $T$是满射；
2. $\rho_1(x, y) = \rho_2(Tx, Ty), \forall x, y \in \mathcal{X}$

我们就说$T$是一个等距同构映射。也说$(\mathcal{X}_1, \rho_1)$和$(\mathcal{X}_2, \rho_2)$是等距同构的，条件一没有指出$T$是双射的原因是第二条可以推出$T$是单射。

参见

• 连续映射
• 完备化空间
• 豪斯多夫空间
• 伪度量空间
• Euclid 空间
• 向量空间
• 范数

参考资料

1. 张恭庆, 林源渠, 《泛函分析讲义（上册）（第二版）》, 高等教育出版社, 北京, 2021-01, ISBN 978-7-3013-0964-3.