度量拓扑

在拓扑学中，度量拓扑（metric topology）是一类由度量空间中的度量决定的拓扑，一个存在度量拓扑的拓扑空间可以叫做可度量化的拓扑空间（详见下面的定义）。

定义

假设$(X,\rho)$是度量空间，其中中的度量$\rho$可以诱导出一个拓扑$\mathcal{T}_\rho$，其中的开集就定义为度量空间中的开集，这样的拓扑$\mathcal{T}_\rho$称为度量拓扑。

我们一般将度量空间视作拓扑空间考察其拓扑性质时，其拓扑就是度量拓扑，除非另有说明。

可度量化空间

假设有一个拓扑空间$(X,\mathcal{T})$，如果可以在集合$X$上规定一个度量$d$使之成为度量空间$(X,d)$，而$\mathcal{T}_d$记此度量空间诱导的拓扑，且满足$\mathcal{T}_d = \mathcal{T}$，我们就称拓扑空间$X$可度量化（measurable）。

拓扑空间$X$可度量化当且仅当存在一个嵌入映射$\iota: X \to Y$，这里$Y$是度量空间。 Urysohn 度量化定理指出： 满足$T_4$公理的第二可数空间$X$可以嵌入到 Hilbert 空间中去，即$X$可以和 Hilbert 空间的子空间同胚。

上面的$T_4$条件可以减弱为$T_3$，此外这个条件不是可度量化空间的充要条件，但确实是可分的可度量化空间的充要条件（注意度量空间未必可分，未必满足$C_2$条件）。

参考资料

1. John M. Lee, Introduction to Topological Manifolds(2nd Ed.), Springer, New York, 2010-12, ISBN 978-1-4419-7939-1.
2. 熊金城, 《点集拓扑讲义（第五版）》, 高等教育出版社, 北京, 2020-06, ISBN 978-7-0405-3617-1.