平面（解析几何）

欢迎来到解析几何的三维空间几何部分！
在这里你将了解到有关空间曲面曲线以及空间变换的相关知识，希望你能收获更多！

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在解析几何中，研究空间中的平面是通过向量以及坐标进行的，平面的方程是其基础。

平面方程

给定一个仿射标架，设有不全为零的实常数$A, B, C, D$，则空间中的平面和下述三元一次方程有着一一对应的关系。 $$Ax + By + Cz + D = 0.$$ 上述方程就称作平面的普通方程。

空间中的一点$M_0 (x_0, y_0, z_0)^\text{T}$以及两个不共线的向量$\vec{u} = (X_1, Y_1, Z_1)^\text{T}, \vec{v} = (X_2, Y_2, Z_2)^\text{T}$可以确定一个平面，设点$M(x, y, z)^\text{T}$在这个平面上，有 $$\overrightarrow{M_0 M} = s \vec{u} + t \vec{v}, s,t \in \R.$$ 因此有如下平面的参数方程。 $$\begin{cases} x = x_0 + s X_1 + t X_2 \\ y = y_0 + s Y_1 + t Y_2 \\ z = z_0 + s Z_1 + t Z_2 \\ \end{cases} \quad s,t \in \R.$$

空间中三个点$A_i (x_i, y_i, z_i)^\text{T}, i = 1,2,3$也可确定一个平面，这样的平面方程是三点式方程： $$\begin{vmatrix} x_1 & x_2 & x_3 & x \\ y_1 & y_2 & y_3 & y \\ z_1 & z_2 & z_3 & z \\ 1 & 1 & 1 & 1 \\ \end{vmatrix} = 0.$$

如果平面和仿射标架的三个坐标轴分别交于$A(a, 0, 0)^\text{T}, B(0, b, 0)^\text{T}, C(0, 0, c)^\text{T}$，且不过原点，它的方程可以如下表示，称为截距式方程： $$\dfrac{x}{a} + \dfrac{y}{b} + \dfrac{z}{c} = 1, abc \ne 0.$$

三面共点

设有三个平面，它们的方程分别是 $$\begin{align} A_1 x + B_1 y + C_1 z + D_1 & = 0 \\ A_2 x + B_2 y + C_2 z + D_2 & = 0 \\ A_3 x + B_3 y + C_3 z + D_3 & = 0 \\ \end{align}.$$ 那么这三个平面有公共点当且仅当它们联立的方程组有解，由 Cramer 法则，也即 $$\begin{vmatrix} A_1 & B_2 & C_3 \\ A_1 & B_2 & C_3 \\ A_1 & B_2 & C_3 \\ \end{vmatrix} \ne 0.$$

平面的位置关系

平面的一次项系数决定了平面的方向，这也就是说，设有向量$\vec{a} = (X, Y, Z)^\text{T}$，那么该向量与平面$A x + B y + C z + D = 0$平行（或在平面上）当且仅当下式成立 $$AX + BY + CZ = 0.$$

我们可以借此得出两个平面 $$\begin{align} A_1 x + B_1 y + C_1 z + D_1 & = 0 \\ A_2 x + B_2 y + C_2 z + D_2 & = 0 \\ \end{align}$$ 之间关系的充要条件：

1. 两平面重合：$A_1 : A_2 = B_1 : B_2 = C_1 : C_2 = D_1 : D_2;$
2. 两平面平行（不重合）：$A_1 : A_2 = B_1 : B_2 = C_1 : C_2 \ne D_1 : D_2;$
3. 两平面相交：$A_1:A_2$，$B_1 : B_2$和$C_1 : C_2$不全相等。

有轴平面束

设有一确定直线，通过该直线的所有平面的全体叫做一个有轴平面束，其中这条直线是该平面束的轴。

设通过某个有轴平面束的轴已知了两个平面的方程是 $$\begin{align} A_1 x + B_1 y + C_1 z + D_1 & = 0 \\ A_2 x + B_2 y + C_2 z + D_2 & = 0 \\ \end{align},$$ 那么一个几何图形属于以这条直线为轴的有轴平面束当且仅当存在唯一的$\theta \in [0, \pi)$，使得下式为这个图形的方程 $$(A_1 x + B_1 y + C_1 z + D_1) \cos \theta + (A_2 x + B_2 y + C_2 z + D_2) \sin \theta = 0.$$ 它显然是一个平面方程。

这也是三维空间中一次分式的几何意义： $$\dfrac{A_1 x + B_1 y + C_1 z + D_1}{A_2 x + B_2 y + C_2 z + D_2} = - \tan \theta.$$

以上的讨论是在仿射标架中进行的，下面的讨论都是在右手直角标架中进行。

法向量

垂直于一个平面的所有直线之间是平行关系，而这些直线的方向向量就成为这个平面的法向量，一个平面的法向量不唯一，但它们之间都是共线关系。

当坐标系选择的是直角标架时，平面$A x + B y + C z + D = 0$的系数组成一个向量$\vec{n} = (A, B, C)^\text{T}$，这个向量就是一个该平面的法向量，同时我们还规定，该法向量所指的方向为平面的正方向，一个平面把几何空间分为两部分，平面正方向所指的一侧称为该平面的正侧，这个方向和平面的普通方程有关系，对普通方程整体改变符号会使正方向指向发生变化。

可以证明，一个点$M(x_0, y_0, z_0)$在平面$A x + B y + C z + D = 0$的正（负）侧的充要条件是 $$A x_0 + B y_0 + C z_0 + D > (<) 0.$$

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