幂零矩阵

在线性代数中，幂零矩阵（nilpotent matrix）是一类特殊的方阵，它是某个幂次为零的矩阵。幂零矩阵是矩阵环中的幂零元。

定义

假设有域$\mathbb{P}$上的矩阵$A \in \mathbb{P}^{n \times n}$，如果存在$k \in \N_{\geqslant 0}$使得$A^k = O$，我们就称$A$是幂零矩阵，对非零的幂零矩阵来说，满足$A^k = O, A^{k-1} \ne 0$的$k$称为$A$的指数或度。

在线性空间中，如果一个线性变换在某个基底下是幂零矩阵，那么这个线性变换被称为幂零线性变换。

实数域上的二阶方阵$A = (a_{ij})_{2 \times 2}$是幂零矩阵当且仅当$a_{11} = -a_{22}, a_{11}^2+a_{12}a_{21} = 0.$

性质

以下涉及到特征值的命题均假设$\mathbb{P} = \R$或$\Complex.$且如未特别说明，幂零矩阵均是$n$阶的。

1. $A$是幂零矩阵当且仅当对任意的正整数$m$都有$\text{tr}(A^m) = 0.$
2. 幂零矩阵的特征值是且仅是$0$，即幂零矩阵是奇异矩阵。
3. 幂零矩阵$A$可对角化当且仅当$A$是零矩阵。
4. $A$的度不会超过$n$。
5. 在定义的假设下，$(E - A)^{-1} = \sum_{i=0}^{k-1} A^i.$
6. 假设$A$是实对称矩阵，那么$A^2 = O \iff A = O.$
7. 令$V$为数域$\mathbb{P}$上$n$阶方阵构成的线性空间，$T \in V$为幂零矩阵，定义线性变换$A(B) = TB - BT$，那么$A$是幂零线性变换。
8. 幂零矩阵的特征多项式为$x^n.$
9. 假设$A$是幂零矩阵，那么$|A + E| = 1.$
10. 假设$A, B, C \in \mathbb{P}^{n \times n}$，$C = AB - BA$与$A, B$可交换，那么$C$是幂零矩阵。
11. 假设$A$是幂零线性变换且度为$n$，那么它在某个基底下的矩阵是$$\begin{pmatrix} 0_{1 \times (n-1)} & 0 \\ E_{n-1} & 0_{(n-1) \times 1} \end{pmatrix}.$$
12. 假设$A$是幂零矩阵且度为$n$，如果存在$u\in \mathbb {P} ^{n}$使得$Au=0$，那么存在$v\in \mathbb {P} ^{n}$使得$Bv=u.$
13. 假设$T$是线性空间$V$的线性变换，那么$\text{Im} T \subset \text{Ker} T$当且仅当$T^2 = O.$

参考资料

1. 郭聿琦, 岑嘉评, 王正攀, 《高等代数教程》, 科学出版社, 北京, 2014-07, ISBN 978-7-0304-0417-6.