幂集

在集合论中，幂集（power set）是一个集合的所有子集构成的集合。

定义

假设$S$是一个集合，我们称下面的集合 $$\mathcal{P}(X) := \{ T: T \subset S \}$$ 为$S$的幂集。

$S$的幂集还有另外一种表示方式：$2^X$，这是基于下面的事实：

$2^S$是所有$S \to \{ 0, 1 \}$的函数的集合，如果我们对任意的$f \in 2^S$，规定如下叙述形成的对应$\tau: 2^S \to \mathcal{P}(S), f \mapsto T$表示：对任意$x \in X$，$f(x) = 1$当且仅当$x \in T$，这样可以验证$\tau$是一个双射，因此我们不区分$2^S$和$\mathcal{P}(S)$。

特别地，空集$\varnothing$的幂集是$\{ \varnothing \}$，他是一个元素组成的集合而非空集。

基数

如果$S$是有限集，不妨假设它的元素个数是$n$，那么$2^S$的元素个数是$2^n.$

如果$S$是无限集，假设它的基数记作$|S|$，那么我们定义$2^S$的基数是$2^{|S|}.$

例如自然数（基数为$\aleph$）的幂集的基数是$2^\aleph$，它和实数等势。