幂级数

在函数项级数中，有一类特殊的级数，它是若干多项式的和，有形式 $$\sum_{n=0}^\infty a_n (x - x_0)^n$$ （必要时我们规定$(x - x_0)^0 = 1$），我们称这样的级数为幂级数，它有许多特殊的性质。

方便起见，我们仅讨论$x_0 = 0$的情形，因为幂级数总可以做变量代换$x' = x - x_0$化为我们所讨论的形式。

本节主要讨论幂级数的性质，关于函数的幂级数展开问题以及常见函数的幂级数展开，见泰勒级数。

Cauchy-Hadamard 定理

对于一个幂级数$\sum_{n=0}^\infty a_n x^n$，设 $$R = \begin{cases} \dfrac{1}{\displaystyle{\limsup_{n \to \infty}} \sqrt[n]{a_n}}, & 0 < \displaystyle{\limsup_{n \to \infty}} \sqrt[n]{a_n} < \infty, \\ 0, & \displaystyle{\limsup_{n \to \infty}} \sqrt[n]{a_n} = \infty, \\ \infty, & \displaystyle{\limsup_{n \to \infty}} \sqrt[n]{a_n} = 0. \end{cases}$$ 那么，幂级数$\sum_{n=0}^\infty a_n x^n$在$|x| < R$的区间内都绝对收敛，在$|x| > R$的区间内发散，在端点$|x| = R$处敛散性需进一步判断。

收敛半径

我们称上述的$R$为该幂级数的收敛半径，开区间$(-R, R)$称作收敛区间，使幂级数收敛的区间称为收敛域（注意，收敛域不一定是收敛区间，因为幂级数在端点处也可能收敛）。

收敛半径除了使用 Cauchy 判别法之外，还可以使用 d'Alembert 判别法，它是说对于一个幂级数$\sum_{n=0}^\infty a_n x^n$，如果$\lim_{n \to \infty} \left| \dfrac{a_n}{a_{n+1}} \right|$存在，那么收敛半径$R = \lim_{n \to \infty} \left| \dfrac{a_n}{a_{n+1}} \right|$，这个判别法对于缺项的幂级数（有某些$a_n = 0$）不能直接应用。

关于两个幂级数间运算收敛半径，有如下性质：（以下假设$\sum_{n=0}^\infty a_n x^n$和$\sum_{n=0}^\infty b_n x^n$的收敛半径分别为$R_1,R_2$）

1. $\sum_{n=0}^\infty (a_n \pm b_n) x^n$的收敛半径$R \geqslant \min \{ R_1, R_2 \};$
2. $\sum_{n=0}^\infty (a_n b_n) x^n$的收敛半径$R \geqslant R_1 R_2;$
3. $\left( \sum_{n=0}^\infty a_n x^n \right) \left( \sum_{n=0}^\infty a_n x^n \right)$的收敛半径$R \geqslant \min \{ R_1, R_2 \}.$

Abel 第一定理

设幂级数$\sum_{n=0}^\infty a_n x^n$在$x = x_0$处收敛，那它必定在更小的区间$(-|x_0|, |x_0|)$内绝对收敛；若幂级数$\sum_{n=0}^\infty a_n x^n$在$x = x_0$处发散，那它必定在更大的区间$(-\infty, -|x_0|) \cup ( |x_0|, +\infty)$内发散。

Abel 第二定理

幂级数$\sum_{n=0}^\infty a_n x^n$在$(-R, R)$上内闭一致收敛，且若在$x = R$处收敛，则幂级数$\sum_{n=0}^\infty a_n x^n$在$[0, R]$上一致收敛。

幂级数的性质

幂级数在收敛区间上是内闭一致收敛的，因此在其上一致收敛的性质：和的连续性、逐项积分以及逐项微分都可以进行。这些被用来求幂级数的和。此外，逐项积分还有如下推广：

设幂级数$\sum_{n=0}^\infty a_n x^n$的收敛半径为$R$（不论$x = R$处是否收敛），当数项级数$\sum_{n=0}^\infty \dfrac{a_n}{n+1} R^{n+1}$收敛时都有 $$\int_0^R \sum_{n=0}^\infty a_n x^n \mathrm{d}x = \sum_{n=0}^\infty \dfrac{a_n}{n+1} R^{n+1}.$$ 另外，求积分和求导不会改变幂级数的收敛半径，但是得到的级数在收敛域端点处的收敛性可能发生变化：以在原点展开的幂级数为例，求积分后在两个端点处均收敛，求导数之后两个端点处可能不再收敛，但原先不收敛的依旧不收敛。

上下节

• 上一节：一致收敛
• 下一节：泰勒级数

  参考资料

  1. 欧阳光中, 朱学炎, 金福临, 陈传璋, 《数学分析》, 高等教育出版社, 北京, 2018-08, ISBN 978-7-0404-9718-2.