幂平均

在分析和统计中，幂平均函数是一类经常被提及的函数，它将多种平均统一了起来。

概念

设有一列正数$\{ a_k \}_{k=1}^n$，定义

$$M(p) = \begin{cases} \left( \dfrac{1}{n} \displaystyle{\sum_{k=1}^n a_k^p} \right)^\frac{1}{p}, & p \ne 0,\\ \left( \displaystyle{\prod_{k=1}^n a_k} \right)^\frac{1}{n}, & p = 0. \end{cases}$$

它在$(- \infty, + \infty)$上是一致连续的。特别地，

$p$的取值	类型	表达式
$p \to -\infty$	最小值	$M(-\infty) = \min_{1 \leqslant k \leqslant n} \{ a_k \}$
$p = -1$	调和平均值	$M(-1) = \dfrac{n}{\frac{1}{a_1} + \frac{1}{a_2} + \cdots + \frac{1}{a_n}}$
$p = 0$	几何平均值	$M(0) = \sqrt[n]{a_1 a_2 \cdots a_n}$
$p = 1$	算术平均值	$M(1) = \dfrac{a_1 + a_2 + \cdots a_n}{n}$
$p = 2$	平方平均值	$M(2) = \sqrt{\dfrac{a_1^2 + a_2^2 + \cdots + a_n^2}{n}}$
$p \to +\infty$	最大值	$M(+\infty) = \max_{1 \leqslant k \leqslant n} \{ a_k \}$

它还可以有加权形式，设有一列正数$\{ a_k \}_{k=1}^n$以及正数$\{ \omega_k \}_{k=1}^n$满足$\sum_{k=1}^n \omega_k = 1$，定义

$$M(p) = \begin{cases} \left( \displaystyle{\sum_{k=1}^n \omega_k a_k^p} \right)^\frac{1}{p}, & p \ne 0,\\ \displaystyle{\prod_{k=1}^n a_k^{\omega_k}}, & p = 0. \end{cases}$$

在连续情形下，幂平均是积分平均：设定义在非零测集的开区域$U \subset \R^n$上的 Lebesgue 可积的函数$f(x)$，定义

$$M(p) = \begin{cases} \displaystyle{ \left( \dfrac{1}{m(U)} \int_U |f(x)|^p \mathrm{d}x \right)^\frac{1}{p}}, & p \ne 0,\\ \displaystyle{\exp \left( \dfrac{1}{m(U)} \int_U \ln |f(x)| \mathrm{d}x \right)}, & p = 0. \end{cases}$$

上述等式右端的定义不一定有效，$p > 0$时有定义的条件相当于$f$的$L^p$可积性，$p < 0$时有定义的条件相当于$1/f$的$L^{-p}$可积性。

上述若在$p = 0$处有定义且连续，还需额外要求$f(x)$不取零值且连续，此外，在两个无穷远点处有定义且连续时也需要追加$f(x)$连续的条件，这时有

$$\begin{align} \lim_{p \to +\infty} \left( \dfrac{1}{m(U)} \int_U |f(x)|^p \mathrm{d}x \right)^\frac{1}{p} = \max_{x \in U} |f(x)|, \\ \lim_{p \to -\infty} \left( \dfrac{1}{m(U)} \int_U |f(x)|^p \mathrm{d}x \right)^\frac{1}{p} = \min_{x \in U} |f(x)|. \end{align}$$

这可以推广到连续带权的形式。

性质

函数$M(p)$在$(- \infty, + \infty)$上是单调递增函数，即

$\forall -\infty \leqslant p \leqslant q \leqslant +\infty$，都有$M(p) \leqslant M(q)$。

注意若$\{ a_k \}_{k=1}^n$在某些点取零值时，只能保证$p,q$同号时成立不等式，而要跨越零点（几何均值）必须要求$\{ a_k \}_{k=1}^n$不取零值。 因此可以推出

最小值$\leqslant$调和平均值$\leqslant$几何平均值$\leqslant$算术平均值$\leqslant$平方平均值$\leqslant$最大值。

在积分均值的情形，上述依旧成立，注意若$f(x)$在某些点取零值时，只能保证$p,q$同号时成立不等式，而要跨越零点必须要求$f(x)$不取零值。

平均极限

设正数列$\{ a_n \}_{n=1}^\infty$收敛于$a$，那么对任意有限数$p$，该数列的前$n$项数据的$p$幂平均依旧收敛到$a$，即

$$\lim_{n \to \infty} \left(\dfrac{1}{n} \sum_{k=1}^n a_k^p\right)^\frac{1}{p} = a.$$

在$p = 0$时，几何均值也具有如上性质。

这个性质也可以推广到带权的形式。

参考资料

1. 崔尚斌, 《数学分析教程（上）》, 科学出版社, 北京, 2013-03, ISBN 978-7-0303-6805-8.