常系数线性常微分方程组

在线性常微分方程组中，常系数的方程组可以使用代数方法解出，这里给出一种一般方法，它是借助线性代数里的 Jordan 标准形以及矩阵相似理论给出的一种解法。以下总假设所讨论的方程组的形式为

$${\boldsymbol {y}}'(x)={\boldsymbol {A}}{\boldsymbol {y}}$$

其中，$\boldsymbol{A} \in \R^{n \times n}$。

基解矩阵

借助矩阵指数的概念，方程组#A1的基解矩阵可以写作

$$\exp \boldsymbol{A} x = \sum_{n=0}^\infty \dfrac{\boldsymbol{A}^n}{n!}x^n.$$

规定$\boldsymbol{A}^0 = \boldsymbol{E}.$ 上述矩阵函数项级数的收敛性按照矩阵范数的概念进行定义（全实数集上收敛），求导法则和一般一元实函数级数的求导无异。

$\exp \boldsymbol{A} x$是一个解矩阵，这是因为

$$(\exp \boldsymbol{A} x)' = \boldsymbol{A} \sum_{n=1}^\infty \dfrac{\boldsymbol{A}^{n-1}}{(n-1)!}x^{n-1} = \boldsymbol{A} \exp \boldsymbol{A} x.$$

同时还是基解矩阵，因为在$x = 0$处，$\det \exp (\boldsymbol{A} 0) = \det \boldsymbol{E} = 1 \ne 0.$从而在$\R$上$\det \exp \boldsymbol{A} x \ne 0.$（作为方程组的解矩阵，一点不为零则处处不为零）。

因此，我们得到了级数表示下的方程组的解。但在实际应用中，我们需要将其具体形式解出，因此还需要借助其它工具。

可对角化的情形

设$\boldsymbol{A}$可对角化，即$\boldsymbol{A}$在$\mathbb{C}$上的特征值$\lambda_i, i = 1,2,\cdots,n$都是相异的，那么由线性代数的知识，存在可逆矩阵$\boldsymbol{P}$使得$\boldsymbol{P}^{-1}\boldsymbol{AP} = \boldsymbol{D}$为对角矩阵，而对于对角矩阵来说，有

$$\exp \boldsymbol{D} x = \begin{pmatrix} \text{e}^{\lambda_1x} \\ & \text{e}^{\lambda_2x} \\ && \ddots \\ &&& \text{e}^{\lambda_nx} \\ \end{pmatrix}.$$

而可逆矩阵$\boldsymbol{P}$的第$i$列形成的列向量就是特征值$\lambda_i$所对应的特征向量$\boldsymbol{v}_1, i = 1,2,\cdots,n.$因此再由矩阵指数的性质

$$\exp (\boldsymbol{PDP}^{-1}) = \boldsymbol{P} (\exp \boldsymbol{D}) \boldsymbol{P}^{-1}.$$

有

$$\exp \boldsymbol{A}x = \boldsymbol{P} (\exp \boldsymbol{D}x) \boldsymbol{P}^{-1}.$$

上式就是基解矩阵的确定式，实际上由于$\boldsymbol{P}$可逆，基解矩阵有性质：它乘上任意可逆矩阵依然是基解矩阵，因此

$$(\exp \boldsymbol{A}x) \boldsymbol{P} = \boldsymbol{P} \exp \boldsymbol{D}x.$$

也是一个基解矩阵，将它写成列向量（特征向量）分块的形式，就是

$$(\text{e}^{\lambda_1x} \boldsymbol{v}_1, \text{e}^{\lambda_2x} \boldsymbol{v}_2, \cdots, \text{e}^{\lambda_nx} \boldsymbol{v}_n).$$

一般来说，上式不一定是实矩阵，当特征根出现复数时，宜用$\exp \boldsymbol{A}x = \boldsymbol{P} (\exp \boldsymbol{D}x) \boldsymbol{P}^{-1}.$

化相似标准型

对于有重根的情形，确定矩阵$\exp \boldsymbol{A} x$的具体形式的方法有很多，这里介绍相似标准型法，其特点是通法清晰，操作机械。

我们由矩阵相似的相关理论可以知道在$\mathbb{C}$上，实矩阵$\boldsymbol{A}$一定有 Jordan 标准形

$$\boldsymbol{J} = \begin{pmatrix} \boldsymbol{J}_1 \\ &\boldsymbol{J}_2 \\ &&\ddots\\ &&&\boldsymbol{J}_s \\ \end{pmatrix}$$

其中，

$$\boldsymbol{J}_i = \begin{pmatrix} \lambda_i & 1 \\ & \lambda_i & 1 \\ & & \lambda_i & \ddots \\ & & & \ddots & 1 \\ & & & & \lambda_i \end{pmatrix} \in \C^{t_i \times t_i}, i = 1,2,\cdots,s$$

且$\sum_{i=1}^s t_i = n.$并存在矩阵（不一定可逆）$\boldsymbol{P}$使得$\boldsymbol{P}^{-1} \boldsymbol{A} \boldsymbol{P} = \boldsymbol{J}$，于是

$$\exp \boldsymbol{J}x = \boldsymbol{P} \begin{pmatrix} \exp \boldsymbol{J}_1x \\ & \exp \boldsymbol{J}_2x \\ && \ddots \\ &&& \exp \boldsymbol{J}_sx \end{pmatrix} \boldsymbol{P}^{-1}$$

其中，

$$\exp \boldsymbol{J_i}x = \begin{pmatrix} 1 \\ x & 1 \\ \dfrac{x^2}{2!} & x & 1 \\ \vdots & \ddots & \ddots & \ddots \\ \dfrac{x^{(t_i-1)}}{(t_i-1)!} & \cdots & \dfrac{x^2}{2!} & x & 1 \end{pmatrix} \text{e}^{\lambda_ix}.$$

于是，$\exp \boldsymbol{A}x = \boldsymbol{P} (\exp \boldsymbol{D}x) \boldsymbol{P}^{-1}.$就是基解矩阵，在$\lambda_i$均为实数时，可直接计算$\boldsymbol{P} \exp \boldsymbol{D}x.$

上下节

• 上一节：线性常微分方程组
• 下一节：Laplace 变换解微分方程

参考资料

1. 王高雄, 周之铭, 朱思铭, 王寿松, 《常微分方程（第三版）》, 高等教育出版社, 北京, 1978-12, ISBN 978-7-0401-9366-4.