常微分方程

常微分方程是自变量只有一个的实值微分方程，也是数学分支常微分方程的主要研究对象。

相关概念

一个常微分方程中，未知函数最高阶导数的阶数称为常微分方程的阶数，例如 $A\dfrac{\mathrm{d}^2 y}{\mathrm{d}x^2} + B\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} + Cy = 0$ 就是一个二阶常微分方程。一般我们把$n$阶常微分方程写作下面的形式

$$F\left({\dfrac {\mathrm {d} ^{n}y}{\mathrm {d} x^{n}}},\cdots ,{\dfrac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}},y,x\right)=0$$

有时也将它写作分离出最高阶导数的形式

$${\dfrac {\mathrm {d} ^{n}y}{\mathrm {d} x^{n}}}=f\left({\dfrac {\mathrm {d} ^{n-1}y}{\mathrm {d} x^{n-1}}},\cdots ,{\dfrac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}},y,x\right)$$

如果上述方程可以写作

$$\dfrac{\mathrm{d}^n y}{\mathrm{d} x^n} + a_1(x) \dfrac{\mathrm{d}^{n-1} y}{\mathrm{d} x^{n-1}} + \cdots + a_{n-1} (x) \dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} + a_n (x) y = f(x).$$

其中$a_i (x), i = 1,2,\cdots,n$是关于自变量$x$的一次有理整式，那么我们就称上述方程为一个$n$阶线性常微分方程，不能写作上述形式的方程，称为非线性常微分方程。

解

给定一常微分方程#A1，如果一个函数$y = \varphi(x)$满足这个方程，就说$y = \varphi(x)$是该方程的一个解，，如果满足原方程的函数是由$x, y$的一个关系式$\varphi(x, y) = 0$确定的，我们就称这样的解为原方程的隐式解；能单独分离出$y$的解也叫做显式解。我们不区分显式解和隐式解，都称为原方程的解。

一般来说，一个方程的解可能不止一个，如果原方程的所有解都可以写成一个带有有限个独立的常数参数的关系式$\varphi(x, y, c_1, c_2, \cdots) = 0$，我们就称这个关系式为原方程的通解。所以要想确定一个方程的某个特定的解，必须要添加限制该解的条件，这个条件叫做定解条件，求微分方程满足某个定解条件的问题就是定解问题。

初值条件

常见的两个定解条件就是初值条件和边值条件。

初值条件是，给定一个$n$阶常微分方程，给定了某个特定的$x = x_0$时对应的$y(x_0)$以及各阶导数值$y'(x_0), y''(x_0), \cdots, y^{(n)} (x_0)$这$n$个条件，求相应满足条件的解，由初值条件确定的解称为该方程的特解。一般可以根据初值条件代入方程的通解中并确定各个常数后得到特解。

微分方程组

用两个以上的关系式表示的微分方程称为微分方程组。

上下节

• 上一节：微分方程
• 下一节：变量分离方程

参考资料

1. 王高雄, 周之铭, 朱思铭, 王寿松, 《常微分方程（第三版）》, 高等教育出版社, 北京, 1978-12, ISBN 978-7-0401-9366-4.