差商

分析中的差商概念是一元实函数微商（导数）的离散形式，它是对一组离散二维点列定义的。

概念

设有两个点$(x_1, f(x_1)), (x_2, f(x_2)), x_1 \ne x_2$，$f(x)$是定义在两个点间的一个函数，定义这两个点的差商为

$$f[x_1, x_2] = \dfrac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1}.$$

当$x_1=x_2$时，定义如下

$$f[x_1, x_1] = \lim_{x_2 \to x_1} \dfrac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1} = f'(x_1).$$

用递推的方法，可以得到高阶差商：

设有$n$个点$(x_i, f(x_i)), i = 1,2,\cdots,n,n>1$，定义这$n$个点的$n-1$阶差商为

$$f[x_1, x_2, \cdots, x_n] = \dfrac{f[x_2, \cdots, x_n] - f[x_1, \cdots, x_{n-1}]}{x_n - x_1}.$$

另外我们约定一个点零阶差商$f[x_1] = f(x_1).$

性质

1. 若函数$f(x)$是一$m~(m>1)$次多项式，那么经过两点的一阶差商后变为$m - 1$阶多项式。
2. 改变$f[x_1, \cdots, x_n]$中某些项的顺序，结果不变。
3. 设函数$f(x)$在区间$I$上$n$阶可导，$\{ x_i \}_{i=1}^{n+1} \subset I$，那么存在$\xi \in I$使得
   $$f[x_1, x_2, \cdots, x_{n+1}] = \dfrac{f^{(n)} (\xi)}{n!}.$$

多元函数的差商

假设$U \subset \R^n$是单连通开集，$u: U \to \R$，那么定义

$$D_i^h u(x) := \dfrac{u(x+he_i) - u(x)}{h}, \quad x, x+he_i \in U, i = 1,2,\cdots,n.$$

其中$e_i$是$\R^n$中标准正交基中的第$i$个单位向量，进而可以定义

$$D^h u(x) := (D_1^h(x), D_2^h(x), \cdots, D_n^h(x)).$$

当$n=1$时他就是我们上面定义过的一阶差商$u[x,x+h].$当然由于其是导数的离散化，我们自然期望$u$有一阶导数，进而讨论和$u$的导数的关系，实际上我们说：差商在大范围区域上（积分意义）和导数几乎没什么区别了，它们之间可以相互控制（如果其中一个有限的话，在某种意义下另一个也会是有限的）。更一般地，我们可以把积分解释为 Lebesgue 积分，用弱导数代替导数。

假设$U \subset \R^n$是有界单连通开区域，$V \subset\subset U$。

1. 如果$1 \leqslant p < +\infty$，$u \in W^{1,p}(U)$，那么存在一个常数$C$使得对任意$h:|h| \in \left(0, \tfrac{1}{2}\text{dist}(V, \partial U)\right)$都有
   $$\| D^h u \|_{L^p(V)} \leqslant C \| Du \|_{L^p(U)}.$$
2. 如果$1 < p < +\infty$，$u \in L^p(U)$，且存在一个常数$C$以及充分小的常数$\varepsilon > 0$使得
   $$\| D^h u \|_{L^p(V)} \leqslant C, \quad \forall h: |h| \in (0, \varepsilon).$$
   那么$u \in W^{1,p}(V)$且
   $$\| Du \|_{L^p(V)} \leqslant C.$$

关于这个定理/命题的证明，单击这里以显示/折叠

(1). 注意到$C^\infty(U)$在$W^{1,p}(U)$中稠密，因此我们只需要证明对任意$u \in C^\infty(U)$都有结论成立即可。注意到

$$|u(x+he_i) - u(x)| = \left|h\int_0^1 u_{x_i}(x+the_i) \mathrm{d}t\right| \leqslant |h| \int_0^1 |D(x+the_i)| \mathrm{d}t.$$

于是

$$\begin{align} \int_V |D^h u|^p \mathrm{d}x & \leqslant \int_V (|D_1^h u|^2 + \cdots + |D_n^h u|^2)^\frac{p}{2} \mathrm{d}x \\ & \leqslant C \int_V (|D_1^h u|^p + \cdots + |D_n^h u|^p) \mathrm{d}x \\ & \leqslant C \sum_{i=1}^n \int_V \int_0^1 |Du(x+the_i)|^p \mathrm{d}t \mathrm{d}x \\ & \leqslant C \sum_{i=1}^n \int_0^1 \int_V |Du(x+the_i)|^p \mathrm{d}x \mathrm{d}t \\ & \leqslant C \int_0^1 \int_U |Du(x)|^p \mathrm{d}x \mathrm{d}t = C \| Du \|_{L^p(U)}. \end{align}$$

(2). 由于$\{ D^h u \}_{h \in (-\varepsilon, \varepsilon)}$在$(L^p(U))^n$中有界，由 Eberlein-Schmulyan 定理，存在一列$\{ -h_k \} \to 0$使得$\{ D^{-h_k} u \}_{k=1}^\infty$在$(L^p(U))^n$中弱收敛到$v = (v_1, v_2, \cdots, v_n) \in (L^p(U))^n.$那么对任意$\varphi \in C_0^\infty(V) \subset L^{p'}(U)$使得

$$\lim_{k \to \infty} \int_V D^{-h_k}_i u(x) \varphi(x) \mathrm{d}x = \int_V v_i(x)\varphi(x) \mathrm{d}x, \quad i = 1,2,\cdots,n.$$

我们可以要求$\varphi_0^\infty(V)$满足$\text{supp}(\varphi) - h e_i \in V.$这样

$$\begin{align} \lim_{k \to \infty} \int_V u(x) \dfrac{\varphi(x+h_k e_i) - \varphi(x)}{h_k} \mathrm{d}x & = \lim_{k \to \infty} \dfrac{1}{h_k} \left( \int_V u(x) \varphi(x+h_k e_i) \mathrm{d}x - \int_V u(x) \varphi(x) \mathrm{d}x \right) \\ & = \lim_{k \to \infty} \dfrac{1}{h_k} \left( \int_V u(x-h_k e_i) \varphi(x) \mathrm{d}x - \int_V u(x) \varphi(x) \mathrm{d}x \right) \\ & = - \lim_{k \to \infty} \int_V \varphi(x) D_i^{-h_k} u(x) \mathrm{d}x \\ & = - \int_V \varphi(x) v_i(x) \mathrm{d}x. \end{align}$$

由控制收敛定理可得

$$\lim_{k \to \infty} \int_V u(x) \dfrac{\varphi(x+h_k e_i) - \varphi(x)}{h_k} \mathrm{d}x = \int_V u(x) \varphi_{x_i} \mathrm{d}x.$$

于是得到

$$\int_V u(x) \varphi_{x_i} \mathrm{d}x = - \int_V \varphi(x) v_i(x) \mathrm{d}x.$$

这正是弱导数的定义，得到$D_{x_i} u(x) = v_i(x).$进一步由范数的弱下半连续性得

$$\| Du \|_{L^p(V)} \leqslant \liminf_{k \to \infty} \| D^{-h_k} u \|_{L^p(V)} \leqslant C.$$

这里控制关系不只是在$U$上，而是需要考虑它的任意一个紧支集，主要的一个原因是差商$D^h u$不能在区域$U$上完全有定义，在靠近边界的时候，过大的$h$会使得函数值$u(x+he_i)$没有定义，不过这时我们可以把$U$选大一些然后把函数$u$做零延拓可以处理这样的情况，即考虑$u \in W_0^{1,p}(U)$。