左连续函数

左连续函数以及右连续函数是两类比连续函数条件更弱的实自变量函数，这两种连续性都是通过研究自变量的两侧极限行为来描述函数的连续性质的，此外还有上下半连续性，不同的是上下半连续性是通过研究因变量的两侧极限行为来描述函数的连续性质的。

定义

假设实数的子集合$I \subset \mathbb{R}$，$Y$是拓扑空间，点$x_0 \in I$满足存在其一个右邻域$(x_{0},x_{0}+\varepsilon )\subset I$且$f$满足右极限$\lim _{x \to x_0^{+}} f(x)$存在且为$f(x_0)$，我们就称$f$在$x_0$处右连续。

同样可以定义左连续：点$x_0 \in I$满足存在其一个左邻域$(x_{0}-\varepsilon ,x_{0})\subset I$且$f$满足左极限$\lim _{x \to x_0^{-}} f(x)$存在且为$f(x_0)$，我们就称$f$在$x_0$处左连续。

如果$f$在$I$的一个非空子集$J \subset I$上每一点都是右连续的，我们就称$f$在$J$上右连续，同样可以定义一个集合上的左连续函数，需要注意的是，集合$J$或点$x_0$的连续性对定义域$I$本身是也有要求的——$I$必须包含$x_0$的某个右邻域，否则无法定义两个单侧极限。

如果根据实数空间上的连续函数的$\varepsilon\text{-}\delta$语言，一个函数在子集$J$上连续当且仅当它在$J$上左连续且右连续。

Heine 定理

由 Heine 定理，函数$f:I\to Y$在点$x_0$处

1. 右连续当且仅当在这个$x_0$处的一固定右邻域内以 $x_0$为极限的递减数列$\{ x_n \}$，$\lim _{n \to \infty} f(x_n)$存在且相等。
2. 左连续当且仅当在这个$x_0$处的一固定左邻域内以 $x_0$为极限的递增数列$\{ x_n \}$，$\lim _{n \to \infty} f(x_n)$存在且相等。

基本性质

函数$f,g:I\to Y$在点$x_0$处左连续，那么

1. ${\tilde {f}}(x)=f(-x)$在点$x_0$处右连续。
2. 如果$Y$是$\mathbb{K}$上的赋范线性空间，$k_{1},k_{2}\in \mathbb {K}$，那么$kf+lg$在$x_0$处左连续。
3. 如果$h:Y\to Z$是连续的，那么$h\circ f$在$x_0$处左连续。
4. 左连续函数未必有介值性质：例如定义在$\R$上的$(0, 1]$上的示性函数。