局部连通空间

在拓扑学中。局部连通空间是刻画拓扑空间局部性质的连通性的概念。

定义

假设有拓扑空间$X$，如果点$x \in X$的每一个邻域$U$中都包含着$x$的某一个连通邻域$V$，我们就称拓扑空间$X$在点$x$处是局部连通的。这等价于$x$的所有连通邻域构成$x$的一个邻域基。

如果$X$中的任意一点都是局部连通的，我们就称$X$是局部连通空间。注意：连通空间未必局部连通，反过来也一样。

局部连通空间的等价刻画：

1. $X$是局部连通空间。
2. $X$的任何一个开集的任何一个连通分支是开集。
3. $X$存在一个每一个元素都是连通集的拓扑基。
4. 若$x \in X$且$U$是$x$的邻域，那么$U$的包含$x$的连通分支是$x$的一个邻域。

性质

1. 局部连通空间的每一个连通分支是开集。
2. 假设$X, Y$是拓扑空间，$X$局部连通，$f: X \to Y$是连续开映射，那么$f(X)$是局部连通的。
3. 局部连通空间的有限乘积空间是局部连通空间。
4. 余有限空间和余可数空间都是局部连通的。
5. 局部连通空间的任何一个开集作为子空间是局部连通的。

参考资料

1. 熊金城, 《点集拓扑讲义（第五版）》, 高等教育出版社, 北京, 2020-06, ISBN 978-7-0405-3617-1.