局部紧致空间

拓扑空间的紧性使得分离公理变得十分简单，但是紧空间并不常见，就连通常的 Euclid 空间$\R^n$都不是紧的，因此我们引入比紧性更弱的概念——局部紧和仿紧空间。

定义

假设$X$是拓扑空间，如果$X$的每一个点都有一个紧致邻域，我们就称$X$是局部紧致空间。显然紧致空间是局部紧致的，Euclid 空间$\R^n$也是局部紧致的。

性质

1. 局部紧致的 Hausdorff 空间是$T_3$的。
2. 假设$X$是局部紧致的$T_3$空间，$x \in X$，则$x$的所有紧致邻域构成的集族是$X$在$x$处的一个邻域基。
3. $T_1$的局部紧致空间中$T_3, T_2, T_{3.5}$性质等价。
4. 局部紧致空间的每一个闭子空间是局部紧致空间。
5. 有限个局部紧致空间的乘积空间是局部紧致空间。

常态映射

假设$X, Y$是拓扑空间，映射$f: X \to Y$满足；$Y$中紧致子集$A$的原象$f^{-1}(A)$是紧致子集，我们就称$f$是常态映射。

假设$Y$是局部紧致的 Hausdorff 空间，$f$是常态连续双射，那么$f$是同胚。

参考资料

1. 熊金城, 《点集拓扑讲义（第五版）》, 高等教育出版社, 北京, 2020-06, ISBN 978-7-0405-3617-1.