局部可积

在分析的积分理论里，局部可积是一个常被提到的概念，它是 Lebesgue 可积的弱化。

概念

假设$U \in \R^n$，我们称它的一个子集$V$是紧包含在$U$中，是指$V$的闭包$\overline{V} = V + \partial V$是包含在$U$里的，记作$V \subset\subset U.$

如果定义在$U$上的一个可测函数$f(x)$满足，对任意紧包含在$U$中的子集$V$,$f(x)$均在$V$上 Lebesgue 可积，我们就说$f(x)$在$U$上局部可积。特别地，如果$f(x)$在$U$上 Lebesgue 可积，那么显然它也在$U$上局部可积。

我们将$U$上所有局部可积的函数收集起来，记作$L_\mathsf{loc}(U)$，同样可以定义局部$L^p$可积，相应地记作$L_\mathsf{loc}^p(U).$

参考资料

1. Haïm Brezis, Functional Analysis, Sobolev Spaces and Partial Differential Equations, Springer Science&Business Media, 2010-11, ISBN 978-0-3877-0913-0.