局部凸空间

局部凸的拓扑线性空间是一类十分常见的拓扑线性空间，在实际应用中我们遇到的很多拓扑线性空间都是局部凸空间，这是一类具有凸的局部基的拓扑线性空间。

定义

我们称一个拓扑线性空间$(X, \tau)$是局部凸的，是指存在这个拓扑$\tau$的一个局部基，使得其中的每个集合都是凸开集。这个定义是一个十分几何的定义，虽然它很直观但不易于检验，下面我们给出一个分析上的等价定义：我们说$X$是局部凸的，是指它的线性拓扑由一族半范数$P=\{p_{\alpha }\}_{\alpha }$所诱导/生成，这也就是说集合系 $${\mathcal {O}}=\{O(0;p_{1},p_{2},\cdots ,p_{n};\varepsilon ):p_{1},p_{2},\cdots ,p_{n}\in P,\varepsilon >0\}$$ 作为局部基所决定了$\tau$。其中记号 $$O(x_{0};P;\varepsilon )=\{x\in X:p(x-x_{0})<\varepsilon ,\forall p\in P\}.$$ 为了说明二者的等价性，我们需要下面的两个结果：

假设$(X, \tau)$是局部凸空间（几何定义），那么存在$X$上的一族半范数$P$使得$\{O(0,p,1)\}_{p\in P}$是$\tau$的局部基。

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由于对每个$X$中原点的开邻域$U$都有一个均衡开邻域$V$使得$V \subset U$，如果$U$还是凸的，那么$V$的凸包就包含在$U$中，这就表明我们可以找到$X$的一族均衡凸开集作为局部基，对其中的每个元素$W$，作其 Minkowski 泛函$p_{W}$，于是$O(0;p_{W};1)=W$。这样把原点的均衡凸开集组成的局部基中的所有元素都作 Minkowski 泛函，我们就得到一族半范数$P$，这就是符合要求的$P$。

假设$P$是一族半范数，上述$\mathcal{O}$所定义的集合系为局部基生成的拓扑记作$\tau _{P}$，那么它是局部凸的线性拓扑。

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1. 首先说明$\mathcal{O}$定义了一个$\tau$的在原点处的邻域基，首先，原点在每个$\mathcal{O}$的集合中，其次，按照$P$的定义，对任意的原点的开邻域$U$总存在一个$W$与之对应的是$p_{W}$使得$W=O(0;p_{W};1)\subset U$，最后我们来说明每个$\mathcal{O}$中的集合$O(0;p_{1},p_{2},\cdots ,p_{n};\varepsilon )$是开集，实际上$$O(0;p_{1},p_{2},\cdots ,p_{n};\varepsilon )=\bigcap _{i=1}^{n}O(0;p_{i};\varepsilon )=\bigcap _{i=1}^{n}\varepsilon O(0;p_{i};1)\in \tau .$$
2. 其次说明$\tau$是向量拓扑，首先，每个$p\in P$生成的拓扑都是线性拓扑（参见半范数#定理1.2），且$\{O(0;p,\varepsilon )\}_{\varepsilon >0}$是它的一个局部基，这个拓扑是局部凸的（几何定义），于是比每个拓扑$\tau_p$都强的最弱拓扑$\tau _{P}$就是线性拓扑，且这个拓扑在原点的一个子基是${\mathcal {O}}.$

于是我们就证明了局部凸空间既可以用几何定义，也可以用一族半范数诱导来定义。

连续性

我们首要考虑的问题是上述空间中线性泛函/其他函数的连续性和有界性是怎样的，特别要注意这二者可能不等价，尽管他们在赋范线性空间中线性泛函的连续性与有界性等价。

首先我们给出一个拓扑等价的等价刻画，或者说，是半范数连续性的等价刻画：

假设$(X, \tau)$是局部凸的拓扑线性空间，$P$是决定这个局部凸空间的半范数族，$q$是$X$使得半范数，那么以下几款等价：

1. $q$连续。
2. $O(0;q;1)$以零为内点。
3. 存在有限个$p_{1},p_{2},\cdots ,p_{n}\in P$以及正常数$C$使得$$q(x)\leqslant C\max\{p_{1}(x),\cdots ,p_{n}(x)\},\quad \forall x\in X.$$

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1. $(1)\Rightarrow (2)$：开集的原象是开集。
2. $(2)\Rightarrow (3)$：由于$O(0;q;1)$是原点的邻域，这就说明存在$O(0;p_{1}.p_{2}.\cdots ,p_{n};\varepsilon )\subset O(0;q;1)$，对任意的$x \in X$，令${\hat {p}}(x)=\max _{1\leqslant i\leqslant n}\{p_{i}(x)\}$。
   1. 当${\hat {p}}(x)=0$的时候，由于对任意的$\lambda > 0$我们都要${\hat {p}}(\lambda x)=\lambda {\hat {p}}(x)=0<\varepsilon$，于是$q(x)=\lambda ^{-1}q(\lambda x)<1$，这就表明$q(x)=0.$
   2. 当${\hat {p}}(x)\neq 0$的时候，取$\lambda ={\dfrac {\varepsilon }{2}}{\dfrac {1}{{\hat {p}}(x)}}$，这样${\hat {p}}(\lambda y)={\dfrac {\varepsilon }{2}}<\varepsilon$，进而$q(x)=\lambda ^{-1}q(\lambda x)<\lambda ^{-1}={\dfrac {2}{\varepsilon }}{\hat {p}}(x).$综上我们只要取$C=2/\varepsilon .$
3. $(3)\Rightarrow (1)$：要证明$q$在点$x_0 \in X$处的连续性，任取$q(x_{0})$在$\R$中的一个相对$R(q)$的开区间$O=(q(x_{0})-\varepsilon ,q(x_{0})+\varepsilon )\cap R(q)$（其中$R(q)$是$q$的象集），任取$x\in X:q(x)\in O$，我们要证明$x$是$q(x_{0})$的某个邻域$U$的内点，实际上我们有$p_{i}(x-x_{0})<{\dfrac {\varepsilon }{C+1}}$的时候就成立$q(x-x_{0})\leqslant C\max _{1\leqslant i\leqslant n}\{q_{i}(x)\}<\varepsilon$，于是我们就可以取$U=O\!\left(x_{0};p_{1},\cdots ,p_{n};{\dfrac {\varepsilon }{C+1}}\right).$

于是我们很容易得到：

假设$\tau _{1},\tau _{2}$是$X$上的两个局部凸的线性拓扑，他们分别由半范数族$P_1, P_2$决定，那么$\tau_1$比$\tau_2$强当且仅当存在对任意的$q\in P_{2}$存在有限个$p_{1},p_{2},\cdots ,p_{n}\in P_{1}$以及正常数$C_q$使得$$q(x)\leqslant C_{q}\max\{p_{1}(x),\cdots ,p_{n}(x)\},\quad \forall x\in X.$$

假设$(X, \tau)$上的局部凸空间，其拓扑由半范数族$P$决定，那么线性泛函$f: X \to \mathbb{K}$连续当且仅当存在存在有限个$p_{1},p_{2},\cdots ,p_{n}\in P$以及正常数$C$使得$$|f(x)|\leqslant C\max\{p_{1}(x),\cdots ,p_{n}(x)\},\quad \forall x\in X.$$

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每个线性泛函的模是半范数，而$f$连续等价于$|f |$连续的，按照上个推论，只需要注意到$f^{-1}(K(\varepsilon ))=\{x\in X:|f|<\varepsilon \}=O(0;|f(x)|,\varepsilon )$。其中$K(\varepsilon )=\{\lambda \in \mathbb {K} :|\lambda |<\varepsilon \}.$

下面这个结果是网有极限的等价命题：

假设$(X, \tau)$上的局部凸空间，其拓扑由半范数族$P$决定，那么网$\{x_{\alpha }\}$收敛到零当且仅当对任意的$p\in P$都有$\{p(x_{\alpha })\}$收敛到零。

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必要性由$p$的连续性得到，下面证明充分性，任取原点的邻域$U$，存在$O(0;p_{1},\cdots ,p_{n};\varepsilon )\subset U$，我们要寻找$\alpha_0$使得当$\alpha \geq \alpha_0$的时候有$x_{\alpha }\in O(0;p_{1},\cdots ,p_{n};\varepsilon )$，实际上由$\{p_{i}(x_{\alpha })\}$收敛到零得到存在$\alpha_{i}$使得当$\alpha \geq \alpha _{i}$的时候成立$p(x_{\alpha })<\varepsilon$，我们只要取$\alpha _{0}>\max _{1\leqslant i\leqslant n}\{\alpha _{i}\}$就可以得到结论。

有界性

下面是局部凸空间$X$中的有界集的等价刻画：

假设$(X, \tau)$是由半范数族$P$决定的局部凸空间，非空集合$A \subset X$有界当且仅当对任意的$p\in P$都成立$\sup _{x\in A}p(x)<+\infty .$

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1. 必要性：由于$A$有界，那么对原点的一个邻域$O(0;p;1)$存在$\varepsilon > 0$使得$\varepsilon A\subset O(0;p;1)$，于是对任意的$x \in A$都有$p(\varepsilon x)<1$，于是$\sup _{x\in A}p(x)\leqslant \varepsilon ^{-1}<+\infty .$
2. 充分性：对任意的原点的邻域$U$总存在一个$O(0;p_{1},\cdots ,p_{n};\varepsilon )\subset U$，于是取$\delta ={\dfrac {\varepsilon }{1+\sup\{p_{k}(x):x\in A,k=1,2,\cdots ,n\}}}$即可说明$\delta A\subset U$。

上面的结果直接表明：

局部凸空间$(X, \tau)$上连续的线性泛函/半范数将有界集映为有界集。

但是要注意局部凸空间上的有界线性算子可以不连续，一个十分基本的例子是如果$(X, \| \cdot \|)$是无穷维的 Banach 空间，从它的弱拓扑形成的局部凸空间$(X, \sigma(X, X^*))$到强拓扑的空间$(X,\|\cdot \|))$的恒等映射是有界的（因为由一致有界原理，强有界等价于弱有界），但是它不是连续的（因为弱拓扑严格弱于强拓扑）。这样的映射不连续的原因是定义域空间中的开集太少了，但是我们可以向定义域空间中增加开集，不过这样的话有界集可能就会变少（因为根据有界集的定义，对任意的原点的开邻域，有界集的某个数乘倍都要在这个邻域之中），我们自然会希望在有界集不减少的情况下给定义域空间上的拓扑加细，这就得到了囿空间。

可赋范性

下面这几个个命题给出了局部凸的拓扑何时成为一个伪度量拓扑或度量拓扑，被称为 Kolmogorov 定理。

假设$(X, \tau)$是由半范数族$P$决定的局部凸空间，$X$由单个半范数决定（换言之，就是可半范化）当且仅当$X$存在非空有界开集。

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1. 必要性：$O(0,p,1)$就是一个有界开邻域。
2. 充分性：假设$U$是有界开集，任取内点$x \in U$我们就得到原点的一个有界开邻域$U-x$，于是存在一个原点的均衡的凸的有界的开邻域$W\subset U-x$，它的 Minkowski 泛函$p_{W}$决定的拓扑比$P$弱，然而$W$有界就表明任意原点的开邻域$O$都存在$\varepsilon > 0$使得$\varepsilon W\subset O$，于是$O(0;p_{W};\varepsilon )\subset O$，这就表明$\{p_{W}\}$决定的拓扑比$P$决定的拓扑强。

很容易我们知道，如果$P$是有限集，那么$X$也是可半范化的，只需要把这些半范数加起来就形成了一个单个半范数。

假设$(X, \tau)$是由半范数族$P$决定的局部凸空间，$X$由单个范数决定（换言之，就是可赋范化）当且仅当$X$是 Hausdorff 空间且存在非空有界开集。

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1. 必要性：赋范线性空间是 Hausdorff 空间，$O(0,p,1)$就是一个有界开邻域。
2. 充分性：Hausdorff 性质表明了$p$只在原点处为零（参见下个命题），如果还存在$x \neq 0$使得$p(x) = 0$，那么$\{x,0\}$在任意原点的开邻域中，与分离性质矛盾。存在有界开集表明了可被半范化。

很容易我们知道，如果$P$是有限集，那么$X$也是可赋范化的，只需要把这些范数加起来就形成了一个单个范数。

假设$(X, \tau)$是由半范数族$P$决定的局部凸空间，$X$是 Hausdorff 空间当且仅当对任意的$x\in X,x\neq 0$都存在$p\in P$使得$p(x)\neq 0$，满足这个性质的半范数族$P$被称为是可分离的。

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1. 必要性：假设$X$是 Hausdorff 空间，那么对任意的$x\in X,x\neq 0$，存在一个原点的邻域$O(0,p_{1},\cdots ,p_{n};\varepsilon )$使得$x\notin O(0,p_{1},\cdots ,p_{n};\varepsilon )$，于是$\max _{1\leqslant i\leqslant n}p_{i}(x)>\varepsilon$，这是有限个取上确界，总可以找到一个$p_{i_{0}}$满足$p_{i_{0}}(x)>\varepsilon \neq 0.$
2. 充分性：对任意的$x, y \in X, x \ne y$，由于$x-y \neq 0$存在$p_{0}\in P$使得$p_{0}(x-y)=\varepsilon >0$，于是存在$y$的开邻域$O(y;p_{0};\varepsilon )$使得$x\notin O(y;p_{0};\varepsilon )$，即$X$是$T_1$空间，由于拓扑线性空间中$T_1$性质与 Hausdorff 性质等价（参见这里），于是我们就证明了结论。

如果$P=\{p_{i}\}_{i=1}^{\infty }$至多可列，那么它可以赋予一个准范数 $$\|x\|=\sum _{i=1}^{\infty }{\dfrac {1}{2^{i}}}{\dfrac {p_{i}(x)}{1+p_{i}(x)}},\quad \forall x\in X.$$ 如果$X$还是完备的，那么它就可以成为 Frechet 空间。

按照上面的定义，可数范数空间（特别的，Schwartz 空间）就是一类 Hausdorff 的 Frechet 空间。

最细拓扑

我们知道如果给非平凡的向量空间施加上平凡拓扑$\{\varnothing ,X\}$，它是向量拓扑且局部凸，但不是 Hausdorff 的，而施加上离散拓扑$2^X$，它是局部凸且是 Hausdorff 的，但又不是向量拓扑，因为向量拓扑对有限线性组合运算连续就导致了$F(x,t)=tx+(1-t)x$连续，即$X$在离散拓扑下道路连通，这在$X$非平凡的情况下是不可能的。于是我们就可以考虑这样的问题：我们怎样能在非平凡线性空间$X$上找一个“最细”的局部凸的向量拓扑？同时我们在很多应用场合下还需要保证 Hausdorff 性质。

向量空间$X$的最细的局部凸向量拓扑$\tau _{f}$由$X$上的半范数形成的全体$P$决定，同时它是 Hausdorff 的。

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假设有比$\tau _{f}$更细的局部凸的向量拓扑$\tau$，它必定也是由一些半范数$P_1$决定的，而$P_{1}\subset P$这就表明$\tau \subset \tau _{f}$。下面证明$\tau _{f}$是 Hausdorff 空间，实际上，任意$X$上的线性泛函的模都是半范数，于是对一个非零元$x \in X$，存在$X$上的某个线性泛函$f$使得$f(x) \ne 0$（例如，我们可以取$X$的 Hamel 基$\mathcal{B}$，那么$x=\sum _{k=1}^{n}\lambda _{k}e_{k}$，这样构造线性泛函$f: X \to \mathbb{K}$如下：$f(e_{k})={\overline {\lambda _{k}}},k=1,2,\cdots ,n$，而$f$作用在其它基向量上是零，这样$f(x)=\sum _{k=1}^{n}|\lambda _{k}|^{2}>0$），这就证明了分离性质。

同样我们也可以使用邻域的手段给出最细局部凸拓扑的等价刻画：

假设线性空间$X$非平凡，那么$X$中的原点的所有吸收均衡凸集全体构成$\tau _{f}$的一个局部凸的局部基。

在#定理5.1的构造中，我们指出了每个线性泛函的模都是半范数，而$X$连带上最细的局部凸拓扑使得所有的半范数都连续，这样我们就得到每个线性泛函的模都是连续的，实际上我们更期望每个线性泛函$f$也连续，同样只需要注意到$f^{-1}(K(\varepsilon ))=\{x\in X:|f(x)|<\varepsilon \}=O(0;|f|,\varepsilon )$。

将上面的结论应用于在可数维度的线性空间中，我们得到

非平凡可数维度的线性空间中的最细局部凸拓扑$\tau _{f}$由下面的关系确定：集合$U \subset X$在$\tau _{f}$中开当且仅当$U$在$X$的任意有限维子空间$X_n$下的交集$U\cap X_{n}$是$X_n$中欧氏拓扑下的开集。如果我们合适选择特殊的一列子空间$\{Y_{n}\}$使得$Y_{1}\subset Y_{2}\subset \cdots$且$X=\bigcup _{i=1}^{\infty }Y_{i}$，那么$U\in \tau _{f}$当且仅当对任意的$Y_i$都有$U\cap Y_{i}$是$Y_i$中欧氏拓扑下的开集。

参考资料

1. 夏道行, 《泛函分析第二教程》, 高等教育出版社, 北京, 2009-01, ISBN 978-7-0402-4750-3.